Encontre
ou
como indicado.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar
, isto é, a transformada de Laplace da função
para
.\n
Informações dadas e importantes: a função a transformar é . A definição da transformada de Laplace que vamos usar é
Informações dadas e importantes: a função a transformar é
sempre observando a região de convergência em
.
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica para simplificar
. A identidade do ângulo duplo diz
portanto
Aplicando com
obtém-se
Passo 3
Substituindo na função original:
Pela linearidade da transformada de Laplace (ou seja,
), temos
Passo 4
Calcular
. Use o teorema do deslocamento na variável
: se
então
. Como
, tomando
obtemos
válido para
(pois a transformada de
converge para
e o deslocamento força
).
Passo 5
Calcular
. Primeiro, a transformada de
é
Aplicando o deslocamento com
(substituir
por
) dá
válido também para
.
Passo 6
Juntando os resultados do Passo 3, Passo 4 e Passo 5:
Fazer uma simplificação algebraica para obter uma única fração. Colocando no mesmo denominador
obtemos
A região de convergência é
.