Encontre F(s) ou f(t) como indicado.
\mathcal{L}\left\{e^{t} \cos ^{2}(3 t)\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar \mathcal{L}\{e^{t}\cos^{2}(3t)\}, isto é, a transformada de Laplace da função \;e^{t}\cos^{2}(3t)\; para t\ge0.\n
Informações dadas e importantes: a função a transformar é \;e^{t}\cos^{2}(3t)\;. A definição da transformada de Laplace que vamos usar é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
sempre observando a região de convergência em s.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica para simplificar \cos^{2}(3t). A identidade do ângulo duplo diz
\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1,
portanto
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=3t obtém-se
\cos^{2}(3t)=\frac{1+\cos(6t)}{2}.

Passo 3

Substituindo na função original:
e^{t}\cos^{2}(3t)=e^{t}\cdot\frac{1+\cos(6t)}{2}=\frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{t}\cos(6t).
Pela linearidade da transformada de Laplace (ou seja, \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}), temos
\mathcal{L}\{e^{t}\cos^{2}(3t)\}=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{t}\}+\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{t}\cos(6t)\}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{t}\}. Use o teorema do deslocamento na variável s: se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s) então \mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a). Como \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s}, tomando a=1 obtemos
\mathcal{L}\{e^{t}\}(s)=\frac{1}{s-1},
válido para \operatorname{Re}(s)>1 (pois a transformada de 1 converge para \operatorname{Re}(s)>0 e o deslocamento força \operatorname{Re}(s-a)>0).

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{e^{t}\cos(6t)\}. Primeiro, a transformada de \cos(6t) é
\mathcal{L}\{\cos(6t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+6^{2}}=\frac{s}{s^{2}+36}.
Aplicando o deslocamento com a=1 (substituir s por s-1) dá
\mathcal{L}\{e^{t}\cos(6t)\}(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+36},
válido também para \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 6

Juntando os resultados do Passo 3, Passo 4 e Passo 5:
\mathcal{L}\{e^{t}\cos^{2}(3t)\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{s-1}{(s-1)^{2}+36}.
Fazer uma simplificação algebraica para obter uma única fração. Colocando no mesmo denominador (s-1)\big((s-1)^{2}+36\big) obtemos
\mathcal{L}\{e^{t}\cos^{2}(3t)\}(s)=\frac{(s-1)^{2}+18}{(s-1)\big((s-1)^{2}+36\big)}.
A região de convergência é \operatorname{Re}(s)>1.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{t}\cos^{2}(3t)\}(s)=\frac{(s-1)^{2}+18}{(s-1)\big((s-1)^{2}+36\big)},\quad \operatorname{Re}(s)>1

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