Encontre o ínfimo e supremo dos seguintes conjuntos:
x in R: a

Passo 1

O enunciado pede o ínfimo e supremo do conjunto A=xinR:a. O conteúdo aqui é teoria de ordem em R, ou seja, precisamos usar as definições de ínfimo (maior cota inferior) e supremo (menor cota superior).

Passo 2

Percebemos que A é exatamente o intervalo (a,b], isto é, todos os x estritamente maiores que a e até b, inclusive. Assim, o ponto a não pertence a A, mas b pertence.

Passo 3

Para encontrar o ínfimo, lembramos que é a maior cota inferior. Qualquer número menor que a não serve, pois não é a maior. O próprio a é cota inferior, já que todo xin A satisfaz x>a. E não existe cota inferior maior que a, porque em todo intervalo aberto (a,a+varepsilon) há pontos de A. Logo, inf A=a.

Passo 4

Para o supremo, buscamos a menor cota superior. Vemos que b é cota superior (nenhum x em A excede b) e pertence a A, então é de fato o menor limite superior possível. Não existe cota superior menor que b porque, para qualquer b-de, ainda há pontos de A entre b-de e b. Logo, sup A=b.

Resposta

inf A=a e sup A=b.

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