Encontre o ínfimo e supremo dos seguintes conjuntos:
Passo 1
O enunciado pede o ínfimo e supremo do conjunto
. O conteúdo aqui é teoria de ordem em
, ou seja, precisamos usar as definições de ínfimo (maior cota inferior) e supremo (menor cota superior).
Passo 2
Percebemos que
é exatamente o intervalo
, isto é, todos os
estritamente maiores que
e até
, inclusive. Assim, o ponto
não pertence a
, mas
pertence.
Passo 3
Para encontrar o ínfimo, lembramos que é a maior cota inferior. Qualquer número menor que
não serve, pois não é a maior. O próprio
é cota inferior, já que todo
satisfaz
. E não existe cota inferior maior que
, porque em todo intervalo aberto
há pontos de
. Logo,
.
Passo 4
Para o supremo, buscamos a menor cota superior. Vemos que
é cota superior (nenhum
em
excede
) e pertence a
, então é de fato o menor limite superior possível. Não existe cota superior menor que
porque, para qualquer
, ainda há pontos de
entre
e
. Logo,
.