Esboce as curvas de nível de f para os seguintes valores de k: f(x, y)=raizx^2+y^2 ; k=0,1,2,3,4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar as curvas de nível da função para os valores de .
Curvas de nível são como “fatias” da função onde ela tem o mesmo valor . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de geometria analítica, especialmente sobre círculos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa função calcula a distância do ponto até a origem no plano. É a fórmula da distância no plano cartesiano.

Passo 3

Agora, queremos encontrar as curvas onde raizx^2 + y^2 = k . Ou seja, queremos todos os pontos cuja distância até a origem seja igual a . Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 4

Para facilitar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados da equação ao quadrado:
x^2 + y^2 = k^2
Essa é a equação padrão de um círculo no plano cartesiano!

Passo 5

Então, para cada valor de x^2 + y^2 = 0 , temos um círculo com raio x^2 + y^2 = 1 e centro na origem x^2 + y^2 = 4 . Vamos listar isso para cada x^2 + y^2 = 9 :
  • Para x^2 + y^2 = 16 :
    Isso significa que e , então é apenas o ponto .
  • Para :
    Um círculo de raio 1 centrado na origem.
  • Para :
    Um círculo de raio 2 centrado na origem.
  • Para :
    Um círculo de raio 3 centrado na origem.
  • Para :
    Um círculo de raio 4 centrado na origem.

Resposta

As curvas de nível de para são círculos com raio igual a e centrados na origem do plano cartesiano. Para , a curva é apenas o ponto . Para , são círculos de raio 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

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