Esboce as curvas de nível de
para os seguintes valores de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
.
Curvas de nível são como “fatias” da função onde ela tem o mesmo valor
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de geometria analítica, especialmente sobre círculos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa função calcula a distância do ponto
até a origem
no plano. É a fórmula da distância no plano cartesiano.
Passo 3
Agora, queremos encontrar as curvas onde
. Ou seja, queremos todos os pontos
cuja distância até a origem seja igual a
. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 4
Para facilitar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados da equação ao quadrado:
Essa é a equação padrão de um círculo no plano cartesiano!
Passo 5
Então, para cada valor de
, temos um círculo com raio
e centro na origem
. Vamos listar isso para cada
:
-
Para
: Isso significa quee , então é apenas o ponto . -
Para
: Um círculo de raio 1 centrado na origem. -
Para
: Um círculo de raio 2 centrado na origem. -
Para
: Um círculo de raio 3 centrado na origem. -
Para
: Um círculo de raio 4 centrado na origem.
Resposta
As curvas de nível de
para
são círculos com raio igual a
e centrados na origem do plano cartesiano. Para
, a curva é apenas o ponto
. Para
, são círculos de raio 1, 2, 3 e 4, respectivamente.