Suponha que varepsilon seja uma cota superior para o conjunto A e que varepsilon in A. Mostre que varepsilon=sup A.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto $ A $ e um número $ \varepsilon $ que é uma cota superior para $ A $, ou seja, nenhum elemento de $ A $ é maior que $ \varepsilon $. Além disso, $ \varepsilon $ está dentro de $ A $. Nosso objetivo é mostrar que $ \varepsilon $ é o supremo de $ A $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser cota superior e o que é o supremo de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma cota superior. Um número $ \varepsilon $ é uma cota superior de $ A $ se para todo $ a \in A $, temos $ a \leq \varepsilon $. Isso significa que nenhum elemento de $ A $ excede $ \varepsilon $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o supremo de um conjunto. O supremo ($ \sup A $) de $ A $ é a menor das cotas superiores de $ A $. Ou seja, é a menor valor que ainda é uma cota superior para todo elemento de $ A $.

Passo 4

Sabemos que $ \varepsilon $ é uma cota superior de $ A $ e que $ \varepsilon \in A $. Como $ \varepsilon $ pertence a $ A $, não existe nenhum elemento de $ A $ maior que $ \varepsilon $. Portanto, $ \varepsilon $ é o menor possível valor que ainda é uma cota superior, já que se tentarmos escolher um número menor que $ \varepsilon $, esse número não será mais uma cota superior (pois $ \varepsilon $ está em $ A $ e seria maior que ele).

Passo 5

Como $ \varepsilon $ é uma cota superior de $ A $ e não existe nenhuma cota superior menor que $ \varepsilon $, concluímos que $ \varepsilon $ é o menor das cotas superiores, ou seja, $ \varepsilon = \sup A $.

Resposta

$ \varepsilon = \sup A $.

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