Calcule as integrais nos
\int_{0}^{1}\left[\frac{2}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathbf{i}+\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}} \mathbf{k}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial em t no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\Bigl[\frac{2}{\sqrt{1-t^{2}}}\,\mathbf{i} \;+\;\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}}\,\mathbf{k}\Bigr]dt.
Para resolver, vamos separar em duas integrais escalares, uma para a componente \mathbf{i} e outra para a componente \mathbf{k}. Usaremos as antiderivadas conhecidas
\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}} = \arcsin(t), \qquad \int \frac{dt}{1+t^{2}} = \arctan(t).

Passo 2

Calculemos a componente em \mathbf{i}:
\int_{0}^{1}\frac{2}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt =2\int_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}} =2\bigl[\arcsin(t)\bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(\frac{\pi}{2}-0\Bigr) =\pi.

Passo 3

Calculemos a componente em \mathbf{k}:
\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}}\,dt =\sqrt{3}\int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t^{2}} =\sqrt{3}\bigl[\arctan(t)\bigr]_{0}^{1} =\sqrt{3}\Bigl(\frac{\pi}{4}-0\Bigr) =\frac{\sqrt{3}\,\pi}{4}.

Passo 4

Juntando as duas componentes, a integral vetorial vale
\pi\,\mathbf{i} \;+\;\frac{\sqrt{3}\,\pi}{4}\,\mathbf{k}.

Resposta

\pi\,\mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}\,\pi}{4}\,\mathbf{k}.

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