Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Depois encontre o módulo da velocidade e a direção do movimento ao valor de t dado. Escreva a velocidade da partícula naquele instante como o produto do módulo de sua velocidade e de sua direção.
\mathbf{r}(t)=(1+t) \mathbf{i}+\frac{t^{2}}{\sqrt{2}} \mathbf{j}+\frac{t^{3}}{3} \mathbf{k}, \quad t=1

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de uma partícula
\mathbf{r}(t) = (1+t)\,\mathbf{i} + \frac{t^{2}}{\sqrt{2}}\,\mathbf{j} + \frac{t^{3}}{3}\,\mathbf{k}
e pede (a) os vetores velocidade \mathbf{v}(t) e aceleração \mathbf{a}(t), (b) os valores de \mathbf{v} e \mathbf{a} em t=1, (c) o módulo de \mathbf{v}(1), (d) a direção do movimento em t=1 e (e) escrever \mathbf{v}(1) como produto do módulo pela direção. Vamos usar derivação componente a componente, definição de módulo e de versor.

Passo 2

Derivando componente a componente,
\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl((1+t),\,\tfrac{t^2}{\sqrt2},\,\tfrac{t^3}{3}\bigr) = \bigl(1,\;\tfrac{2t}{\sqrt2},\;t^2\bigr) = \mathbf{i} + \sqrt2\,t\,\mathbf{j} + t^{2}\,\mathbf{k}.
Derivando de novo para obter a aceleração,
\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \bigl(0,\;\sqrt2,\;2t\bigr) = \sqrt2\,\mathbf{j} + 2t\,\mathbf{k}.

Passo 3

Avaliaremos em t=1:
\mathbf{v}(1) = \mathbf{i} + \sqrt2\,\mathbf{j} + 1\,\mathbf{k}, \qquad \mathbf{a}(1) = \sqrt2\,\mathbf{j} + 2\,\mathbf{k}.

Passo 4

O módulo da velocidade em t=1 é
\lVert \mathbf{v}(1)\rVert = \sqrt{1^2 + (\sqrt2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} = 2.
A direção do movimento é o versor \mathbf{T}(1)=\mathbf{v}(1)/\lVert\mathbf{v}(1)\rVert:
\mathbf{T}(1) = \frac{1}{2}\,\mathbf{i} + \frac{\sqrt2}{2}\,\mathbf{j} + \frac{1}{2}\,\mathbf{k}.
Logo, podemos escrever
\mathbf{v}(1) = \lVert \mathbf{v}(1)\rVert\,\mathbf{T}(1) = 2\;\bigl(\tfrac{1}{2}\,\mathbf{i} + \tfrac{\sqrt2}{2}\,\mathbf{j} + \tfrac{1}{2}\,\mathbf{k}\bigr).

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}(t) = \mathbf{i} + \sqrt2\,t\,\mathbf{j} + t^{2}\,\mathbf{k},\quad \mathbf{a}(t) = \sqrt2\,\mathbf{j} + 2t\,\mathbf{k}.
Em t=1: \displaystyle \mathbf{v}(1)=\mathbf{i}+\sqrt2\,\mathbf{j}+\mathbf{k},\quad \mathbf{a}(1)=\sqrt2\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}. \displaystyle \lVert\mathbf{v}(1)\rVert=2,\quad \mathbf{T}(1)=\tfrac12\,\mathbf{i}+\tfrac{\sqrt2}{2}\,\mathbf{j}+\tfrac12\,\mathbf{k},\quad \mathbf{v}(1)=2\,\mathbf{T}(1).

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