Encontre por integração:
e^{k x} * e^{-k x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por integração, a expressão e^{k x} * e^{-k x}. As informações dadas são:
\,k é uma constante (qualquer número fixo) e \,x é a variável de integração.
A operação * aqui é multiplicação. Queremos a integral indefinida em relação a x.

Passo 2

Primeiro simplificamos o produto usando a propriedade dos expoentes: a multiplicação de exponenciais de mesma base soma os expoentes. Em forma matemática:
e^{k x}\cdot e^{-k x}=e^{k x + (-k x)}.
Como k x + (-k x)=0, segue que
e^{k x}\cdot e^{-k x}=e^{0}.

Passo 3

Sabemos que e^{0}=1. Portanto a função que vamos integrar é a constante 1:
\int e^{k x}\cdot e^{-k x}\,dx=\int 1\,dx.

Passo 4

A integral indefinida de uma constante é a constante multiplicada por x. Em particular, a antiderivada de 1 é x, e devemos acrescentar a constante de integração C. Assim,
\int 1\,dx = x + C.

Passo 5

Verificação rápida: derivando x+C obtemos \dfrac{d}{dx}(x+C)=1, que é exatamente a função integranda. Logo a antiderivada está correta.

Resposta

x + C

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