Encontre por integração:
x * e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, por integração, a primitiva (antiderivada) da função x e^{x}.
Informação dada: a integranda é x e^{x} e a variável de integração é x. Ou seja, queremos calcular
\int x e^{x}\,dx.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta essencial para integrais do tipo produto: a fórmula de integração por partes. Ela diz o seguinte:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas que fazemos a partir da integranda. Explicando cada símbolo:
  • u é uma função de x que escolhemos para derivar depois (produz du),
  • dv é o resto da integranda, que escolhemos para integrar (produz v),
  • du é a diferencial de u, isto é, du = u'(x)\,dx,
  • v é uma primitiva de dv, isto é, v = \int dv.
A ideia é transformar uma integral complicada \int u\,dv em outra possivelmente mais simples \int v\,du.

Passo 3

Precisamos escolher u e dv a partir de \int x e^{x}\,dx. Uma escolha natural e simples é:
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx.
Agora calculamos du e v:
du = u'(x)\,dx = 1\,dx = dx,
v = \int dv = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Explicação: derivar x simplifica (vira 1), e integrar e^{x} é simples porque a derivada e a primitiva de e^{x} são e^{x}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int x e^{x}\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo os valores encontrados ( u=x, v=e^{x}, du=dx):
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.

Passo 5

A integral restante é simples:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto,
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C,
onde C é a constante de integração (lembre-se sempre de adicioná-la em integrais indefinidas).

Passo 6

Podemos fatorar e^{x} para deixar a resposta mais elegante:
\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x - 1) + C.

Passo 7

Verificação rápida (para confiar no resultado): derivando a resposta obtida devemos voltar à integranda.
Derivando \,e^{x}(x-1)\, usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}(x-1)\big) = e^{x}(x-1) + e^{x}\cdot 1 = e^{x}x,
que é exatamente a integranda x e^{x}. Então está correto.

Resposta

e^{x}(x-1)+C

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