Encontre por integração:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, por integração, a primitiva (antiderivada) da função
.
Informação dada: a integranda é e a variável de integração é
. Ou seja, queremos calcular
Informação dada: a integranda é
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta essencial para integrais do tipo produto: a fórmula de integração por partes. Ela diz o seguinte:
onde
e
são escolhas que fazemos a partir da integranda. Explicando cada símbolo:
-
é uma função de que escolhemos para derivar depois (produz ), -
é o resto da integranda, que escolhemos para integrar (produz ), -
é a diferencial de , isto é, , -
é uma primitiva de , isto é, .
A ideia é transformar uma integral complicada
em outra possivelmente mais simples
.
Passo 3
Precisamos escolher
e
a partir de
. Uma escolha natural e simples é:
Agora calculamos
e
:
Explicação: derivar
simplifica (vira
), e integrar
é simples porque a derivada e a primitiva de
são
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores encontrados (
,
,
):
Passo 5
A integral restante é simples:
Portanto,
onde
é a constante de integração (lembre-se sempre de adicioná-la em integrais indefinidas).
Passo 6
Podemos fatorar
para deixar a resposta mais elegante:
Passo 7
Verificação rápida (para confiar no resultado): derivando a resposta obtida devemos voltar à integranda.
Derivando usando a regra do produto:
Derivando
que é exatamente a integranda
. Então está correto.