Encontre por integração:
t * e^t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a integral de . Esse problema está na área do cálculo, especificamente na integração por partes. Vamos precisar entender a fórmula da integração por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz:
integral u , dv = u times v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar partes da nossa função para e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = t e dv = e^t , dt
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddt (t) , dt = 1 , dt :
v = integral e^t , dt = e^t
E integrando para encontrar :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral t times e^t , dt = u times v - integral v times du
= t times e^t - integral e^t times 1 , dt

Passo 6

A integral que ficou foi integral t times e^t , dt = t times e^t - e^t + C , que sabemos que é . Então:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de t times e^t - e^t + C é:

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