Encontre as integrais abaixo:
\int x^{2} e^{x^{3}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int x^{2} e^{x^{3}+1}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é o produto de x^{2} por uma exponencial e^{x^{3}+1}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}e^{x^{3}+1}.

Passo 2

Escolha do método: substituição (u-substituição).
Motivação didática: quando dentro de uma função composta aparece uma parte cuja derivada (ou um múltiplo dela) está multiplicando o resto da expressão, faz sentido fazer u igual à parte interna da composta. Aqui a parte interna da exponencial é x^{3}+1 e sua derivada é 3x^{2}, que é proporcional a x^{2} que multiplica a exponencial. Isso indica que a substituição u=x^{3}+1 vai simplificar a integral.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u = x^{3}+1.
Calcule du usando a regra da derivada:
du = \frac{d}{dx}(x^{3}+1)\,dx = 3x^{2}\,dx.
Isolando o diferencial que aparece na integral, obtemos
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u. Substituindo u e x^{2}\,dx na integral,
\int x^{2} e^{x^{3}+1}\,dx = \int e^{u}\left(\frac{1}{3}\,du\right) = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du.
Agora a integral ficou simples: a primitiva de e^{u} é e^{u}.

Passo 5

Calcular a integral em u e voltar para x:
\frac{1}{3}\int e^{u}\,du = \frac{1}{3}e^{u} + C.
Voltando à variável original usando u=x^{3}+1,
\frac{1}{3}e^{u} + C = \frac{1}{3}e^{x^{3}+1} + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (checar na prova é uma boa ideia): aplicar a regra da cadeia à primitiva encontrada,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}e^{x^{3}+1}\right) = \frac{1}{3}e^{x^{3}+1}\cdot\frac{d}{dx}(x^{3}+1) = \frac{1}{3}e^{x^{3}+1}\cdot 3x^{2} = x^{2}e^{x^{3}+1},
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}e^{x^{3}+1}+C

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