Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é o produto de
por uma exponencial . - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que .
Passo 2
Escolha do método: substituição (u-substituição).
Motivação didática: quando dentro de uma função composta aparece uma parte cuja derivada (ou um múltiplo dela) está multiplicando o resto da expressão, faz sentido fazer igual à parte interna da composta. Aqui a parte interna da exponencial é
e sua derivada é
, que é proporcional a
que multiplica a exponencial. Isso indica que a substituição
vai simplificar a integral.
Motivação didática: quando dentro de uma função composta aparece uma parte cuja derivada (ou um múltiplo dela) está multiplicando o resto da expressão, faz sentido fazer
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Calcule
usando a regra da derivada:
Isolando o diferencial que aparece na integral, obtemos
Passo 4
Reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
na integral,
Agora a integral ficou simples: a primitiva de
é
.
Passo 5
Calcular a integral em
e voltar para
:
Voltando à variável original usando
,
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (checar na prova é uma boa ideia): aplicar a regra da cadeia à primitiva encontrada,
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.