Utilizando a técnica da integração por partes na integral indefinida, encontre as integrais indefinidas:
\int \arctan (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \arctan(x)\,dx
usando a técnica de integração por partes. Nesta técnica aplicamos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \arctan(x), \quad dv = dx.
Então derivando e integrando, obtemos
du = \frac{dx}{1+x^2}, \quad v = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes, fica
\int \arctan(x)\,dx = x\,\arctan(x) - \int x\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx.

Passo 4

Para calcular a integral remanescente, note que
\int \frac{x}{1+x^2}\,dx
fazemos a substituição w = 1+x^2, dw = 2x\,dx. Logo
\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2} \int \frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^2\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta, a antiderivada (sem a constante) é
F(x) = x\,\arctan(x) - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^2\bigr).

Resposta

\int \arctan(x)\,dx = x\,\arctan(x) - \tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+x^2\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

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