Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva e a integral indefinida da função f, onde:
f(x)=x\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{3}}, para x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x\bigl(4-x^{2}\bigr)^{\frac{1}{3}}
e pede uma primitiva F tal que F'(x)=f(x). Vamos usar o método de substituição, que consiste em trocar a parte mais complexa por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4 - x^{2}.
Diferenciando, obtemos
du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral
\int x\,(4-x^{2})^{\frac{1}{3}}\,dx = \int x\,u^{\frac{1}{3}}\,dx = \int u^{\frac{1}{3}}\bigl(x\,dx\bigr) = \int u^{\frac{1}{3}}\Bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{2}\int u^{\frac{1}{3}}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{\frac{1}{3}}\,du = \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} = \frac{3}{4}\,u^{\frac{4}{3}}.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{2}, temos
-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\,u^{\frac{4}{3}} = -\tfrac{3}{8}\,u^{\frac{4}{3}} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, com u=4-x^{2}, obtemos a primitiva
F(x) = -\tfrac{3}{8}\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{\frac{4}{3}} + C.

Resposta

\int x\,(4 - x^{2})^{\frac{1}{3}}\,dx = -\tfrac{3}{8}\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{\frac{4}{3}} + C.

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