Encontre as integrais de linha de F entre (0,0,0) e(1,1,1) sobre o caminho C: \vec{r}(t)=t \vec{\imath}+t^{2} \vec{\jmath}+t^{4} \vec{k}, 0 \leq t \leq 1 para \vec{F}=3 y \vec{\imath}+2 x \vec{\jmath}+4 z \vec{k} \quad Resposta: \frac{13}{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha de \vec{F} no caminho C que vai de (0,0,0) até (1,1,1). Dados fornecidos:
  • Campo vetorial \vec{F} = 3y\,\vec{\imath} + 2x\,\vec{\jmath} + 4z\,\vec{k}.
  • Curva C dada pela parametrização \vec{r}(t)=t\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{\jmath}+t^{4}\,\vec{k}, com 0\le t\le 1.
  • Ponto inicial corresponde a t=0 e ponto final a t=1.
    A pergunta é: calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Escolha do método (e por quê): para integrais de linha de um campo vetorial dado e uma parametrização a maneira direta é usar a definição
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}\,dt.
Isso significa: substituir a parametrização na função \vec{F}, calcular a derivada \dfrac{d\vec{r}}{dt} e então integrar o produto escalar. Outra possível abordagem é tentar achar uma função potencial (se o campo fosse conservativo), mas aqui não precisamos porque o método paramétrico é direto e rápido. Vou aplicar a fórmula acima passo a passo.

Passo 3

Calcular \dfrac{d\vec{r}}{dt}. Como \vec{r}(t)=t\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{\jmath}+t^{4}\,\vec{k}, derivando componente a componente obtenho
\frac{d\vec{r}}{dt}=1\cdot\vec{\imath}+2t\cdot\vec{\jmath}+4t^{3}\cdot\vec{k}.
Ou seja,
\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{\imath}+2t\,\vec{\jmath}+4t^{3}\,\vec{k}.
Explicação curta: derivada de t é 1, de t^{2} é 2t, de t^{4} é 4t^{3}.

Passo 4

Calcular \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big), ou seja substituir x=t, y=t^{2}, z=t^{4} em \vec{F}. Assim
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)=3y\,\vec{\imath}+2x\,\vec{\jmath}+4z\,\vec{k} =3t^{2}\,\vec{\imath}+2t\,\vec{\jmath}+4t^{4}\,\vec{k}.
Comentário: é só trocar as letras pelas componentes da parametrização.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}. Multiplico componente a componente e somo:
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\frac{d\vec{r}}{dt} =(3t^{2})(1)+(2t)(2t)+(4t^{4})(4t^{3}).
Agora simplifico cada termo:
(3t^{2})(1)=3t^{2},\qquad (2t)(2t)=4t^{2},\qquad (4t^{4})(4t^{3})=16t^{7}.
Somando:
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}=3t^{2}+4t^{2}+16t^{7}=7t^{2}+16t^{7}.
Dica prática: sempre calcule termo a termo para não errar os expoentes.

Passo 6

Agora ponho isso na integral conforme a fórmula, com os limites de t de 0 a 1:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\big(7t^{2}+16t^{7}\big)\,dt.
Vou integrar termo a termo usando a regra básica de potência: \displaystyle\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando:
\int_{0}^{1}7t^{2}\,dt = 7\cdot\frac{t^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=\frac{7}{3},
\int_{0}^{1}16t^{7}\,dt = 16\cdot\frac{t^{8}}{8}\Big|_{0}^{1}=16\cdot\frac{1}{8}=2.
Portanto a integral completa é
\int_{0}^{1}\big(7t^{2}+16t^{7}\big)\,dt=\frac{7}{3}+2.

Passo 7

Somar os termos finais e simplificar:
\frac{7}{3}+2=\frac{7}{3}+\frac{6}{3}=\frac{13}{3}.
Interpretação final: a integral de linha do campo \vec{F} ao longo da curva C vale \dfrac{13}{3}. Mandou bem por conferir a resposta — bate com o que você escreveu!

Resposta

\dfrac{13}{3}

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