Encontre as integrais de linha de F entre (0,0,0) e(1,1,1) sobre o caminho C: \vec{r}(t)=t \vec{\imath}+t^{2} \vec{\jmath}+t^{4} \vec{k}, 0 \leq t \leq 1 para \vec{F}=3 y \vec{\imath}+2 x \vec{\jmath}+4 z \vec{k} \quad Resposta: \frac{13}{3}
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha de \vec{F} no caminho C que vai de (0,0,0) até (1,1,1). Dados fornecidos:
Campo vetorial \vec{F} = 3y\,\vec{\imath} + 2x\,\vec{\jmath} + 4z\,\vec{k}.
Curva C dada pela parametrização \vec{r}(t)=t\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{\jmath}+t^{4}\,\vec{k}, com 0\le t\le 1.
Ponto inicial corresponde a t=0 e ponto final a t=1.
A pergunta é: calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Passo 2
Escolha do método (e por quê): para integrais de linha de um campo vetorial dado e uma parametrização a maneira direta é usar a definição
Isso significa: substituir a parametrização na função \vec{F}, calcular a derivada \dfrac{d\vec{r}}{dt} e então integrar o produto escalar. Outra possível abordagem é tentar achar uma função potencial (se o campo fosse conservativo), mas aqui não precisamos porque o método paramétrico é direto e rápido. Vou aplicar a fórmula acima passo a passo.
Passo 3
Calcular \dfrac{d\vec{r}}{dt}. Como \vec{r}(t)=t\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{\jmath}+t^{4}\,\vec{k}, derivando componente a componente obtenho
Interpretação final: a integral de linha do campo \vec{F} ao longo da curva C vale \dfrac{13}{3}. Mandou bem por conferir a resposta — bate com o que você escreveu!