Exercício 2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ).
V=M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais e W=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A^{t}=A\right\}, onde A^{t} é a matriz transposta de A.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 com entradas reais, com soma e multiplicação por escalar usuais) e o subconjunto
W=\{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{t}=A\},
ou seja, W é o conjunto das matrizes simétricas. A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V. As informações relevantes fornecidas são exatamente V (todas as matrizes 2\times2) e a definição de W (matrizes com A^t=A).

Passo 2

O que precisamos checar para afirmar que um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial:
  1. W não é vazio (ou equivalentemente contém a matriz zero).
  2. W é fechado sob adição: se A,B\in W então A+B\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se A\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda A\in W.
Essas três condições são suficientes e usuais em provas. Outra forma alternativa (útil na prática) é verificar que para quaisquer A,B\in W e quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} a combinação linear \alpha A+\beta B pertence a W. Vou usar a forma clássica em três passos porque é a mais direta.

Passo 3

Verificar que W não é vazio (contém a matriz zero).
Considere a matriz zero
0=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}).
A transposta de 0 é 0^{t}=0. Logo 0\in W. Assim W não é vazio. (Dica para a prova: sempre mostre que a matriz zero está em W — é o jeito mais rápido de garantir não-vazio.)]

Passo 4

Verificar fechamento sob adição.
Sejam A,B\in W. Pela definição de W temos A^{t}=A e B^{t}=B. Usamos a propriedade da transposta que vale para todas as matrizes compatíveis:
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
Substituindo A^{t}=A e B^{t}=B obtemos
(A+B)^{t}=A+B.
Isto significa que A+B é simétrica, portanto A+B\in W. Assim W é fechado sob adição.
(Explicação da propriedade usada: a transposta distribui sobre soma porque você troca linhas por colunas em cada matriz; formalmente se C=A+B então a entrada (i,j) de C^t é a entrada (j,i) de C, que é a soma das entradas (j,i) de A e B, ou seja a soma das entradas (i,j) de A^t e B^t.)

Passo 5

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja A\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Usamos a propriedade da transposta em relação a escalares:
(\lambda A)^{t}=\lambda A^{t}.
Como A^{t}=A, segue
(\lambda A)^{t}=\lambda A.
Portanto \lambda A é simétrica e pertence a W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.
(Observação didática: a propriedade (\lambda A)^{t}=\lambda A^{t} é imediata porque multiplicar uma matriz por \lambda multiplica todas as entradas por \lambda, e a transposição apenas reordena essas entradas.)

Passo 6

Conclusão: W contém a matriz zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Logo, pelo critério padrão, W é um subespaço vetorial de V.
Para fixar a ideia, veja a forma geral de uma matriz simétrica 2\times2: qualquer A\in W pode ser escrita como
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] b & c\end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Isso mostra também que W é um espaço vetorial de dimensão 3; uma base conveniente é
E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
porque qualquer A da forma acima é A=aE_{1}+bE_{2}+cE_{3}. Isso é útil na prova se quiseres também citar dimensão e um argumento construtivo de base.]

Resposta

Sim. O subconjunto W é um subespaço vetorial de V.

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