Exercício 2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial (
).
, munido das operações usuais e
, onde
é a matriz transposta de
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(matrizes
com entradas reais, com soma e multiplicação por escalar usuais) e o subconjunto
ou seja,
é o conjunto das matrizes simétricas. A pergunta é: verificar se
é um subespaço vetorial de
. As informações relevantes fornecidas são exatamente
(todas as matrizes
) e a definição de
(matrizes com
).
Passo 2
O que precisamos checar para afirmar que um subconjunto
é subespaço vetorial:
-
não é vazio (ou equivalentemente contém a matriz zero). -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Essas três condições são suficientes e usuais em provas. Outra forma alternativa (útil na prática) é verificar que para quaisquer
e quaisquer escalares
a combinação linear
pertence a
. Vou usar a forma clássica em três passos porque é a mais direta.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (contém a matriz zero).
Considere a matriz zero
A transposta de
é
. Logo
. Assim
não é vazio. (Dica para a prova: sempre mostre que a matriz zero está em
— é o jeito mais rápido de garantir não-vazio.)]
Passo 4
Verificar fechamento sob adição.
Sejam
. Pela definição de
temos
e
. Usamos a propriedade da transposta que vale para todas as matrizes compatíveis:
Substituindo
e
obtemos
Isto significa que
é simétrica, portanto
. Assim
é fechado sob adição.
(Explicação da propriedade usada: a transposta distribui sobre soma porque você troca linhas por colunas em cada matriz; formalmente se
então a entrada
de
é a entrada
de
, que é a soma das entradas
de
e
, ou seja a soma das entradas
de
e
.)
Passo 5
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja
e
. Usamos a propriedade da transposta em relação a escalares:
Como
, segue
Portanto
é simétrica e pertence a
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
(Observação didática: a propriedade
é imediata porque multiplicar uma matriz por
multiplica todas as entradas por
, e a transposição apenas reordena essas entradas.)
Passo 6
Conclusão:
contém a matriz zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Logo, pelo critério padrão,
é um subespaço vetorial de
.
Para fixar a ideia, veja a forma geral de uma matriz simétrica
: qualquer
pode ser escrita como
com
. Isso mostra também que
é um espaço vetorial de dimensão
; uma base conveniente é
porque qualquer
da forma acima é
. Isso é útil na prova se quiseres também citar dimensão e um argumento construtivo de base.]
Resposta
Sim. O subconjunto
é um subespaço vetorial de
.