Exercício 4. Encontre, em cada um dos itens abaixo, os subespaços vetoriais
e
, onde
são subespaços do espaço vetorial (
) indicado.
, munido das operações usuais,
e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais e os subespaços
e
O que a questão pede é encontrar, explicitamente, os subespaços vetoriais
e
.
Informações relevantes dadas: a definição explícita de (todos os pares com segunda coordenada zero) e de
(todos os pares cuja primeira coordenada é o dobro da segunda).
Informações relevantes dadas: a definição explícita de
Passo 2
Vamos lembrar as definições que vamos usar (sem resolver ainda):
A interseção é o conjunto de vetores que pertencem simultaneamente a
e a
, isto é,
A interseção
A soma
é o conjunto de todas as somas de um elemento de
com um elemento de
, isto é,
Vou usar parametrizações (escrever os vetores de cada subespaço como múltiplos de um gerador) porque aqui
e
são linhas passando pela origem em
, e parametrizar deixa as contas bem simples.
Passo 3
Parametrizo
. Todo vetor de
tem a forma
. Posso escrever
Isto significa que
Explicação rápida:
é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor
, que é exatamente a reta
.
Passo 4
Parametrizo
. A condição
deixa livre
. Tomo
. Então
Portanto
Explicação: todo vetor de
é um múltiplo do vetor
, que representa a reta através da origem com essa direção.
Passo 5
Calculo a interseção
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da segunda equação segue
. Logo o único vetor comum é o vetor nulo
. Portanto
Comentário didático: isso mostra que as duas retas passam pela origem mas não são a mesma reta (se fossem múltiplos entre si), por isso a interseção é só o vetor zero.]
Passo 6
Calculo a soma
. Tome um vetor genérico em
e outro em
:
A soma é
Agora vou ver quais vetores
de
podem ser escritos assim: igualando
Das componentes obtemos
e
. Podemos resolver para
e
em função de
: basta escolher
e
, que são números reais para quaisquer
. Assim para qualquer
existe
com a equação acima, ou seja todo
é soma de um elemento de
e um de
. Portanto
Interpretação geométrica e dica para prova: duas retas distintas que passam pela origem em
(linhas não colineares) geram todo o plano quando somadas, porque suas direções são linearmente independentes.
Passo 7
Verificação por dimensão (cheia de intuição, não necessária mas ajuda a fixar):
,
e
. Pela fórmula
ou seja
e como
tem dimensão 2, temos
. Isso confirma o que encontramos anteriormente.