Exercício 4. Encontre, em cada um dos itens abaixo, os subespaços vetoriais U+W e U \cap W, onde U, W são subespaços do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) indicado.
V=\mathbb{R}^{2}, munido das operações usuais, U=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; y=0\right\} e W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x=2 y\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} com as operações usuais e os subespaços
U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\; y=0\}
e
W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\; x=2y\}.
O que a questão pede é encontrar, explicitamente, os subespaços vetoriais U+W e U\cap W.
Informações relevantes dadas: a definição explícita de U (todos os pares com segunda coordenada zero) e de W (todos os pares cuja primeira coordenada é o dobro da segunda).

Passo 2

Vamos lembrar as definições que vamos usar (sem resolver ainda):
A interseção U\cap W é o conjunto de vetores que pertencem simultaneamente a U e a W, isto é,
U\cap W=\{v\in V \mid v\in U \text{ e } v\in W\}.
A soma U+W é o conjunto de todas as somas de um elemento de U com um elemento de W, isto é,
U+W=\{u+w \mid u\in U,\; w\in W\}.
Vou usar parametrizações (escrever os vetores de cada subespaço como múltiplos de um gerador) porque aqui U e W são linhas passando pela origem em \mathbb{R}^2, e parametrizar deixa as contas bem simples.

Passo 3

Parametrizo U. Todo vetor de U tem a forma (x,0). Posso escrever
(x,0)=x\,(1,0).
Isto significa que
U=\operatorname{span}\{(1,0)\}=\{a(1,0)\mid a\in\mathbb{R}\}.
Explicação rápida: \operatorname{span}\{(1,0)\} é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor (1,0), que é exatamente a reta y=0.

Passo 4

Parametrizo W. A condição x=2y deixa livre y. Tomo y=t\in\mathbb{R}. Então
(x,y)=(2t,t)=t\,(2,1).
Portanto
W=\operatorname{span}\{(2,1)\}=\{b(2,1)\mid b\in\mathbb{R}\}.
Explicação: todo vetor de W é um múltiplo do vetor (2,1), que representa a reta através da origem com essa direção.

Passo 5

Calculo a interseção U\cap W\). Um vetor \(v\) em \(U\cap W\) deve ser simultaneamente da forma \(a(1,0)\) e da forma \(b(2,1)\). Então existe \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que \[a(1,0)=b(2,1).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a = 2b,\\[4pt] 0 = b. \end{cases}
Da segunda equação segue b=0\]. Substituindo na primeira, \(a=2\cdot 0=0. Logo o único vetor comum é o vetor nulo (0,0). Portanto
U\cap W=\{(0,0)\}.
Comentário didático: isso mostra que as duas retas passam pela origem mas não são a mesma reta (se fossem múltiplos entre si), por isso a interseção é só o vetor zero.]

Passo 6

Calculo a soma U+W. Tome um vetor genérico em U e outro em W:
u=a(1,0)=(a,0),\qquad w=b(2,1)=(2b,b).
A soma é
u+w=(a+2b,\; b).
Agora vou ver quais vetores (x,y) de \mathbb{R}^2 podem ser escritos assim: igualando
(x,y)=(a+2b,\; b).
Das componentes obtemos y=b e x=a+2b. Podemos resolver para a e b em função de x,y: basta escolher b=y e a=x-2y, que são números reais para quaisquer x,y. Assim para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 existe a,b com a equação acima, ou seja todo (x,y) é soma de um elemento de U e um de W. Portanto
U+W=\mathbb{R}^2.
Interpretação geométrica e dica para prova: duas retas distintas que passam pela origem em \mathbb{R}^2 (linhas não colineares) geram todo o plano quando somadas, porque suas direções são linearmente independentes.

Passo 7

Verificação por dimensão (cheia de intuição, não necessária mas ajuda a fixar): \dim U=1, \dim W=1 e \dim(U\cap W)=0. Pela fórmula
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=1+1-0=2,
ou seja \dim(U+W)=2 e como \mathbb{R}^2 tem dimensão 2, temos U+W=\mathbb{R}^2. Isso confirma o que encontramos anteriormente.

Resposta

U+W=\mathbb{R}^2
U\cap W=\{(0,0)\}

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