Encontre as integrais a seguir, usando integração por partes:
\int \log (3 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede encontrar a antiderivada (integração indefinida) da função dada. As informações são:
  • Integral a calcular: \displaystyle \int \log(3x)\,\mathrm{d}x.
  • A variável de integração é x.
  • Procuramos uma primitiva, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\log(3x).

Passo 2

Vou usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, a fórmula e o que cada termo significa:
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para derivar ( \mathrm{d}u será sua derivada vezes \mathrm{d}x).
  • \mathrm{d}v é o resto da integral, que integramos para obter v.
    A escolha é feita de modo que derivar u torne a integral mais simples. Uma escolha natural para integrar \log(3x) é:
u=\log(3x),\qquad \mathrm{d}v=\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculemos \mathrm{d}u e v.
  • Derivada de \log(3x): pela regra da cadeia,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log(3x)=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{1}{x},
portanto \mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x.
  • Integrando \mathrm{d}v=\mathrm{d}x obtemos v=x.
Agora aplicamos a fórmula de partes:
\int \log(3x)\,\mathrm{d}x = u v - \int v\,\mathrm{d}u = x\log(3x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.
Simplificando a integral:
\int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\int 1\,\mathrm{d}x = x + C_1.
Portanto a primitiva é
x\log(3x) - x + C,
onde C é constante arbitrária (absorvendo -C_1).

Passo 4

Verificação alternativa (checar que está coerente): usando a propriedade dos logaritmos \log(3x)=\log 3 + \log x,
\int \log(3x)\,\mathrm{d}x = \int \log 3\,\mathrm{d}x + \int \log x\,\mathrm{d}x = x\log 3 + (x\log x - x) + C = x\log(3x)-x + C,
o que confirma o resultado obtido por partes.

Passo 5

Resumo prático para a prova: ao integrar \log(ax) por partes, escolha u=\log(ax) e \mathrm{d}v=\mathrm{d}x. A derivada de \log(ax) é 1/x, o que simplifica a integral final para \int 1\,\mathrm{d}x. Resultado rápido: x\log(ax)-x+C.

Resposta

x\log(3x)-x+C

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