Encontre as integrais a seguir, usando integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede encontrar a antiderivada (integração indefinida) da função dada. As informações são:
- Integral a calcular:
. - A variável de integração é
. - Procuramos uma primitiva, isto é, uma função
tal que .
Passo 2
Vou usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, a fórmula e o que cada termo significa:
Aqui:
-
é uma função que escolhemos para derivar ( será sua derivada vezes ). -
é o resto da integral, que integramos para obter .
A escolha é feita de modo que derivartorne a integral mais simples. Uma escolha natural para integrar é:
Passo 3
Calculemos
e
.
- Derivada de
: pela regra da cadeia,
portanto
.
- Integrando
obtemos .
Agora aplicamos a fórmula de partes:
Simplificando a integral:
Portanto a primitiva é
onde
é constante arbitrária (absorvendo
).
Passo 4
Verificação alternativa (checar que está coerente): usando a propriedade dos logaritmos
,
o que confirma o resultado obtido por partes.
Passo 5
Resumo prático para a prova: ao integrar
por partes, escolha
e
. A derivada de
é
, o que simplifica a integral final para
. Resultado rápido:
.