Se
é a função
encontre os pontos críticos de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com
sendo um parâmetro (fixo) qualquer. A pergunta é: encontre os pontos críticos de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A integranda é
. - O limite superior da integral é
(variável); o inferior é (fixo). - Um ponto crítico de
é qualquer onde ou onde não estiver definida.
Passo 2
Calcular
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para derivada de uma integral com limite superior variável).
Explicando o teorema (curtinho e direto): se
é contínua em torno de
, a função
satisfaz
. Ou seja, a derivada da integral com limite superior variável é simplesmente a integranda avaliada no ponto
.
Aqui a integranda é
. Note que
para todo
, logo
é contínua em toda
. Portanto podemos aplicar o teorema e obter
Passo 3
Agora aplicamos a definição de ponto crítico: procurar
tais que
ou
não esteja definida.
-
Verificar onde
não está definida: o denominador de é , que nunca é zero (pois ). Portanto está definida para todo . Não há pontos críticos por derivada não definida. -
Procurar onde
. Como o denominador é sempre positivo, basta achar raízes do numerador:
Resolver a equação quadrática. Ela fatoriza facilmente:
Logo as soluções são
Portanto os candidatos a pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos classificar rapidamente cada ponto (máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão) usando o teste da segunda derivada — só para você saber como reconhecer na prova.
Primeiro calculamos
, que é a derivada de
. Usamos a regra do quociente: se
e
, então
Calculemos as derivadas:
Substituindo:
Simplificando o numerador passo a passo:
Portanto
Agora avaliamos em
e
:
portanto em
temos
, indicando um máximo local.
portanto em
temos
, indicando um mínimo local.
(Comentário rápido: se
fosse zero em um ponto, aí o teste seria inconclusivo e usaríamos o sinal de
nas vizinhanças.)
Passo 5
Resumo final:
está definida para todo
e zera exatamente em
e
. Classificação pelo teste da segunda derivada:
é ponto de máximo local e
é ponto de mínimo local.