Se F(x) é a função
F(x):=\int_{a}^{x} \frac{y^{2}-3 y+2}{y^{2}+1} \mathrm{~d} y
encontre os pontos críticos de F.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x):=\int_{a}^{x} \frac{y^{2}-3y+2}{y^{2}+1}\,\mathrm{d}y
com a sendo um parâmetro (fixo) qualquer. A pergunta é: encontre os pontos críticos de F.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é \dfrac{y^{2}-3y+2}{y^{2}+1}.
  • O limite superior da integral é x (variável); o inferior é a (fixo).
  • Um ponto crítico de F é qualquer x onde F'(x)=0 ou onde F' não estiver definida.

Passo 2

Calcular F'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para derivada de uma integral com limite superior variável).
Explicando o teorema (curtinho e direto): se g é contínua em torno de x, a função
G(x)=\int_{a}^{x} g(y)\,\mathrm{d}y
satisfaz G'(x)=g(x). Ou seja, a derivada da integral com limite superior variável é simplesmente a integranda avaliada no ponto x.
Aqui a integranda é g(y)=\dfrac{y^{2}-3y+2}{y^{2}+1}. Note que y^{2}+1>0 para todo y\in\mathbb{R}, logo g é contínua em toda \mathbb{R}. Portanto podemos aplicar o teorema e obter
F'(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de ponto crítico: procurar x tais que F'(x)=0 ou F' não esteja definida.
  1. Verificar onde F' não está definida: o denominador de F'(x) é x^{2}+1, que nunca é zero (pois x^{2}+1\ge 1). Portanto F'(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}. Não há pontos críticos por derivada não definida.
  2. Procurar onde F'(x)=0. Como o denominador é sempre positivo, basta achar raízes do numerador:
x^{2}-3x+2=0.
Resolver a equação quadrática. Ela fatoriza facilmente:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Logo as soluções são
x=1\quad\text{e}\quad x=2.
Portanto os candidatos a pontos críticos são x=1 e x=2.

Passo 4

Vamos classificar rapidamente cada ponto (máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão) usando o teste da segunda derivada — só para você saber como reconhecer na prova.
Primeiro calculamos F''(x), que é a derivada de F'(x)=\dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+1}. Usamos a regra do quociente: se u(x)=x^{2}-3x+2 e v(x)=x^{2}+1, então
F''(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Calculemos as derivadas:
u'(x)=2x-3,\qquad v'(x)=2x.
Substituindo:
F''(x)=\frac{(2x-3)(x^{2}+1)-(x^{2}-3x+2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Simplificando o numerador passo a passo:
(2x-3)(x^{2}+1)=2x^{3}-3x^{2}+2x-3,
(x^{2}-3x+2)(2x)=2x^{3}-6x^{2}+4x,
\text{numerador}= (2x^{3}-3x^{2}+2x-3)-(2x^{3}-6x^{2}+4x)=3x^{2}-2x-3.
Portanto
F''(x)=\frac{3x^{2}-2x-3}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora avaliamos em x=1 e x=2:
F''(1)=\frac{3\cdot1^{2}-2\cdot1-3}{(1^{2}+1)^{2}}=\frac{3-2-3}{(2)^{2}}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}<0,
portanto em x=1 temos F''(1)<0, indicando um máximo local.
F''(2)=\frac{3\cdot2^{2}-2\cdot2-3}{(2^{2}+1)^{2}}=\frac{12-4-3}{(5)^{2} }=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}>0,
portanto em x=2 temos F''(2)>0, indicando um mínimo local.
(Comentário rápido: se F'' fosse zero em um ponto, aí o teste seria inconclusivo e usaríamos o sinal de F' nas vizinhanças.)

Passo 5

Resumo final: F'(x) está definida para todo x e zera exatamente em x=1 e x=2. Classificação pelo teste da segunda derivada: x=1 é ponto de máximo local e x=2 é ponto de mínimo local.

Resposta

x=1 (máximo local)
x=2 (mínimo local)

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