Encontre as integrais a seguir, usando integração por partes:
\int x^{6} \cos (3 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{6}\cos(3x)\,\mathrm{d}x.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a integrar é x^{6}\cos(3x).
  • Deve-se usar integração por partes (ou método equivalente repetido).
  • O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) com constante de integração C.

Passo 2

Lembrando a fórmula básica da integração por partes:
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u,
onde u e v são funções de x. Aqui o fator polinomial x^n é bom escolher como u (pois sua derivação simplifica) e o fator trigonométrico como \mathrm{d}v (pois suas antiderivadas são simples).
Para acelerar repetições é útil obter uma fórmula de recorrência para
I_n=\int x^n\cos(3x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Aplicando integração por partes com u=x^n e \mathrm{d}v=\cos(3x)\,\mathrm{d}x:
  • \mathrm{d}u = n x^{n-1}\,\mathrm{d}x.
  • v=\displaystyle\int \cos(3x)\,\mathrm{d}x=\frac{\sin(3x)}{3}.
Portanto
I_n = \frac{x^n\sin(3x)}{3} - \frac{n}{3}\int x^{n-1}\sin(3x)\,\mathrm{d}x.
Agora integramos a integral com \sin(3x) por partes: seja J_{n-1}=\int x^{n-1}\sin(3x)\,\mathrm{d}x. Tomando u=x^{n-1}, \mathrm{d}v=\sin(3x)\,\mathrm{d}x temos v=-\dfrac{\cos(3x)}{3} e \mathrm{d}u=(n-1)x^{n-2}\,\mathrm{d}x. Então
J_{n-1} = -\frac{x^{n-1}\cos(3x)}{3} + \frac{n-1}{3}\int x^{n-2}\cos(3x)\,\mathrm{d}x = -\frac{x^{n-1}\cos(3x)}{3} + \frac{n-1}{3}I_{n-2}.
Substituindo J_{n-1} em I_n obtemos a recorrência:
I_n = \frac{x^n\sin(3x)}{3} + \frac{n x^{n-1}\cos(3x)}{9} - \frac{n(n-1)}{9} I_{n-2}.
Esta fórmula relaciona I_n com I_{n-2} e é perfeita para reduzir por pares até I_0.

Passo 4

Vamos aplicar a recorrência com n=6. Primeiro escrevo a fórmula com a=3 já inserido (onde a^2=9):
I_n = \frac{x^n\sin(3x)}{3} + \frac{n x^{n-1}\cos(3x)}{9} - \frac{n(n-1)}{9} I_{n-2}.
Com n=6:
I_6 = \frac{x^6\sin(3x)}{3} + \frac{6 x^5\cos(3x)}{9} - \frac{6\cdot 5}{9} I_4.
Simplificando coeficientes:
I_6 = \frac{x^6\sin(3x)}{3} + \frac{2 x^5\cos(3x)}{3} - \frac{10}{3} I_4.

Passo 5

Agora aplico a recorrência para n=4 (para expressar I_4 em função de I_2):
I_4 = \frac{x^4\sin(3x)}{3} + \frac{4 x^3\cos(3x)}{9} - \frac{4\cdot 3}{9} I_2.
Simplificando:
I_4 = \frac{x^4\sin(3x)}{3} + \frac{4 x^3\cos(3x)}{9} - \frac{4}{3} I_2.

Passo 6

Aplicando a recorrência para n=2 (para achar I_2 em função de I_0):
I_2 = \frac{x^2\sin(3x)}{3} + \frac{2 x\cos(3x)}{9} - \frac{2\cdot 1}{9} I_0.
Mas I_0 é simples:
I_0=\int \cos(3x)\,\mathrm{d}x=\frac{\sin(3x)}{3}.
Substituindo I_0 em I_2:
I_2 = \frac{x^2\sin(3x)}{3} + \frac{2 x\cos(3x)}{9} - \frac{2}{9}\cdot\frac{\sin(3x)}{3}.
Simplificando o último termo:
\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{27},
logo
I_2 = \frac{x^2\sin(3x)}{3} + \frac{2 x\cos(3x)}{9} - \frac{2\sin(3x)}{27}.

Passo 7

Agora substituo I_2 em I_4 para obter I_4 explicitamente.
Recordando
I_4 = \frac{x^4\sin(3x)}{3} + \frac{4 x^3\cos(3x)}{9} - \frac{4}{3} I_2,
substituindo I_2:
I_4 = \frac{x^4\sin(3x)}{3} + \frac{4 x^3\cos(3x)}{9} - \frac{4}{3}\left(\frac{x^2\sin(3x)}{3} + \frac{2 x\cos(3x)}{9} - \frac{2\sin(3x)}{27}\right).
Agora distribuo e simplifico os coeficientes term a term:
  • Para o termo em x^2\sin(3x): -\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{3} = -\dfrac{4}{9}.
  • Para o termo em x\cos(3x): -\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{2}{9} = -\dfrac{8}{27}.
  • Para o termo em \sin(3x) constante: -\dfrac{4}{3}\cdot \left(-\dfrac{2}{27}\right)=+\dfrac{8}{81}.
Assim
I_4 = \frac{x^4\sin(3x)}{3} + \frac{4 x^3\cos(3x)}{9} - \frac{4 x^2\sin(3x)}{9} - \frac{8 x\cos(3x)}{27} + \frac{8\sin(3x)}{81}.

Passo 8

Finalmente substituo I_4 em I_6.
Recordando
I_6 = \frac{x^6\sin(3x)}{3} + \frac{2 x^5\cos(3x)}{3} - \frac{10}{3} I_4,
substituindo I_4:
\begin{aligned} I_6 &= \frac{x^6\sin(3x)}{3} + \frac{2 x^5\cos(3x)}{3} - \frac{10}{3}\Biggl(\frac{x^4\sin(3x)}{3} + \frac{4 x^3\cos(3x)}{9} \\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad - \frac{4 x^2\sin(3x)}{9} - \frac{8 x\cos(3x)}{27} + \frac{8\sin(3x)}{81}\Biggr). \end{aligned}
Agora multiplico -\dfrac{10}{3} em cada termo dentro do parênteses:
  • -\dfrac{10}{3}\cdot \dfrac{1}{3} = -\dfrac{10}{9}, para x^4\sin(3x).
  • -\dfrac{10}{3}\cdot \dfrac{4}{9} = -\dfrac{40}{27}, para x^3\cos(3x).
  • -\dfrac{10}{3}\cdot \left(-\dfrac{4}{9}\right)=+\dfrac{40}{27}, para x^2\sin(3x).
  • -\dfrac{10}{3}\cdot \left(-\dfrac{8}{27}\right)=+\dfrac{80}{81}, para x\cos(3x).
  • -\dfrac{10}{3}\cdot \dfrac{8}{81} = -\dfrac{80}{243}, para \sin(3x).
Somando tudo obtemos:
\begin{aligned} I_6 &= \frac{x^6\sin(3x)}{3} + \frac{2 x^5\cos(3x)}{3} - \frac{10 x^4\sin(3x)}{9} - \frac{40 x^3\cos(3x)}{27} \\\ &\qquad + \frac{40 x^2\sin(3x)}{27} + \frac{80 x\cos(3x)}{81} - \frac{80\sin(3x)}{243} + C, \end{aligned}
onde adicionei a constante de integração C.

Resposta

\frac{x^{6}\sin(3x)}{3}+\frac{2x^{5}\cos(3x)}{3}-\frac{10x^{4}\sin(3x)}{9}-\frac{40x^{3}\cos(3x)}{27}+\frac{40x^{2}\sin(3x)}{27}+\frac{80x\cos(3x)}{81}-\frac{80\sin(3x)}{243}+C

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