Encontre as integrais a seguir, usando integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e objetivo:
- A função a integrar é
. - Deve-se usar integração por partes (ou método equivalente repetido).
- O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) com constante de integração
.
Passo 2
Lembrando a fórmula básica da integração por partes:
onde
e
são funções de
. Aqui o fator polinomial
é bom escolher como
(pois sua derivação simplifica) e o fator trigonométrico como
(pois suas antiderivadas são simples).
Para acelerar repetições é útil obter uma fórmula de recorrência para
Passo 3
Aplicando integração por partes com
e
:
-
. -
.
Portanto
Agora integramos a integral com
por partes: seja
. Tomando
,
temos
e
. Então
Substituindo
em
obtemos a recorrência:
Esta fórmula relaciona
com
e é perfeita para reduzir por pares até
.
Passo 4
Vamos aplicar a recorrência com
. Primeiro escrevo a fórmula com
já inserido (onde
):
Com
:
Simplificando coeficientes:
Passo 5
Agora aplico a recorrência para
(para expressar
em função de
):
Simplificando:
Passo 6
Aplicando a recorrência para
(para achar
em função de
):
Mas
é simples:
Substituindo
em
:
Simplificando o último termo:
logo
Passo 7
Agora substituo
em
para obter
explicitamente.
Recordando
substituindo
:
Agora distribuo e simplifico os coeficientes term a term:
- Para o termo em
: . - Para o termo em
: . - Para o termo em
constante: .
Assim
Passo 8
Finalmente substituo
em
.
Recordando
substituindo
:
Agora multiplico
em cada termo dentro do parênteses:
-
, para . -
, para . -
, para . -
, para . -
, para .
Somando tudo obtemos:
onde adicionei a constante de integração
.