Encontre as integrais a seguir, usando integração por partes:
\int x \sin \left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é o produto de x por \sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right), mais a constante de integração.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, lembro a fórmula e de onde vem, de forma bem direta:
a fórmula é
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u,
onde u e v são funções de x, \mathrm{d}u é a derivada de u vezes \mathrm{d}x e v é uma antiderivada de \mathrm{d}v. Intuição prática para escolher: escolhe-se u de modo que \mathrm{d}u seja mais simples que u, e \mathrm{d}v que seja fácil de integrar.
Aqui escolhemos
u = x,\qquad \mathrm{d}v = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x,
porque \mathrm{d}u=\mathrm{d}x fica simples e \sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right) é fácil de integrar via substituição.

Passo 3

Calculamos \mathrm{d}u e v.
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x.
Para v precisamos de uma primitiva de \sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right). Faço uma substituição simples: seja t=\dfrac{x}{2}, então \mathrm{d}t=\dfrac{1}{2}\mathrm{d}x, logo \mathrm{d}x=2\mathrm{d}t. Assim
\int \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x = \int \sin(t)\cdot 2\mathrm{d}t = 2\int \sin(t)\mathrm{d}t = -2\cos(t)+C.
Voltando para x (ou seja, t=\tfrac{x}{2}),
v = -2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int x \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x = u v - \int v\,\mathrm{d}u.
Substituindo u=x, v=-2\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right) e \mathrm{d}u=\mathrm{d}x,
\int x \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x = x\cdot\biggl(-2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\biggr) - \int \biggl(-2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\biggr)\mathrm{d}x.
Simplificando os sinais,
\int x \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x = -2x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + 2\int \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x.

Passo 5

Calculamos a integral restante \int \cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\mathrm{d}x. Usando a mesma substituição t=\tfrac{x}{2} (ou lembrando a regra da cadeia):
\int \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
Substituindo de volta em nossa expressão,
\int x \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x = -2x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + 2\cdot\biggl(2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\biggr) + C.
Portanto
\int x \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x = -2x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + 4\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.

Passo 6

Verificação rápida derivando a primitiva encontrada (só para ficar seguro). Seja
F(x) = -2x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + 4\sin\!\left(\frac{x}{2}\right).
Derivando termo a termo:
  • Para o primeiro termo uso regra do produto e cadeia:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\biggl(-2x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\biggr) = -2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) -2x\cdot\biggl(-\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\biggr)\cdot\frac{1}{2} = -2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + x\sin\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • Para o segundo termo:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\biggl(4\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\biggr) = 4\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2} = 2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Somando as derivadas:
(-2\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right) + x\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)) + 2\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right) = x\sin\!\left(\frac{x}{2}\right),
que é exatamente a integranda. Tudo conferiu.

Resposta

-2x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + 4\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) + C

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