Encontre as integrais a seguir, usando integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A integranda é o produto de
por . - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que , mais a constante de integração.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, lembro a fórmula e de onde vem, de forma bem direta:
a fórmula é
a fórmula é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
e
é uma antiderivada de
. Intuição prática para escolher: escolhe-se
de modo que
seja mais simples que
, e
que seja fácil de integrar.
Aqui escolhemos
porque
fica simples e
é fácil de integrar via substituição.
Passo 3
Calculamos
e
.
Para
precisamos de uma primitiva de
. Faço uma substituição simples: seja
, então
, logo
. Assim
Voltando para
(ou seja,
),
Passo 4
Aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
,
Simplificando os sinais,
Passo 5
Calculamos a integral restante
. Usando a mesma substituição
(ou lembrando a regra da cadeia):
Substituindo de volta em nossa expressão,
Portanto
Passo 6
Verificação rápida derivando a primitiva encontrada (só para ficar seguro). Seja
Derivando termo a termo:
- Para o primeiro termo uso regra do produto e cadeia:
- Para o segundo termo:
Somando as derivadas:
que é exatamente a integranda. Tudo conferiu.