Encontre integrais sobre superfícies: \iint_{\substack{x^{2}+y^{2}=z^{2} \\\ 0 \leq z \leq 1}}(x^{2}+y^{2}) d S ;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície sobre a parte superior do cone x^{2}+y^{2}=z^{2} com 0\le z\le 1 da função x^{2}+y^{2}.
Informações dadas e perguntas claras:
Intervalo vertical da superfície: vai do vértice no (0,0,0) até o nível z=1 (nesse plano a seção é um círculo de raio 1). Nada mais é pedido além do valor numérico da integral.
Passo 2
Decidindo o método (por que usar coordenadas cilíndricas / parametrização): a superfície é um cone com simetria circular em torno do eixo z. Em problemas com simetria radial é muito natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta) porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e a parametrização fica simples. Alternativa: usar a fórmula dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA para z=f(x,y) também funciona; vou mostrar o método da parametrização (mais direto e didático), e no final comento a outra forma rapidamente.
Passo 3
Escolhendo a parametrização: como no cone superior temos z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, em coordenadas cilíndricas natural é
O elemento de área dS é dado pela magnitude do produto vetorial |\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta|\,dr\,d\theta. Calculo o produto vetorial (faço passo a passo):
Simplificando o resultado: \sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}. Também podemos escrever este valor como \dfrac{\pi}{\sqrt{2}} porque \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Resultado final: