Encontre integrais sobre superfícies:
\iint_{\substack{x^{2}+y^{2}=z^{2} \\\ 0 \leq z \leq 1}}(x^{2}+y^{2}) d S ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície sobre a parte superior do cone x^{2}+y^{2}=z^{2} com 0\le z\le 1 da função x^{2}+y^{2}.
Informações dadas e perguntas claras:
\text{Superfície: } S=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=z^{2},\;0\le z\le 1\}.í
\text{Integrando: } f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
\text{Calcular: } \iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,dS.
Intervalo vertical da superfície: vai do vértice no (0,0,0) até o nível z=1 (nesse plano a seção é um círculo de raio 1). Nada mais é pedido além do valor numérico da integral.

Passo 2

Decidindo o método (por que usar coordenadas cilíndricas / parametrização): a superfície é um cone com simetria circular em torno do eixo z. Em problemas com simetria radial é muito natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta) porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e a parametrização fica simples. Alternativa: usar a fórmula dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA para z=f(x,y) também funciona; vou mostrar o método da parametrização (mais direto e didático), e no final comento a outra forma rapidamente.

Passo 3

Escolhendo a parametrização: como no cone superior temos z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, em coordenadas cilíndricas natural é
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=r,
com os parâmetros variando em
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Defino o vetor posição da superfície como
\mathbf{R}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r\big).

Passo 4

Vou calcular os vetores tangentes e o elemento de área dS. Derivo \mathbf{R} em relação a r e \theta:
\mathbf{R}_r=\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1),
\mathbf{R}_\theta=\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial\theta}=(-r\sin\theta,\; r\cos\theta,\;0).
O elemento de área dS é dado pela magnitude do produto vetorial |\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta|\,dr\,d\theta. Calculo o produto vetorial (faço passo a passo):
\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos\theta & \sin\theta & 1 \\\\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta = \big(-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\big).
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, isso simplifica para
\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta = (-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r).
A magnitude é
|\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta| = \sqrt{(-r\cos\theta)^{2}+(-r\sin\theta)^{2}+r^{2}} = \sqrt{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+r^{2}}=\sqrt{2\,r^{2}}=r\sqrt{2}.
Portanto
dS = r\sqrt{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Expressando o integrando em termos de r,\theta: temos x^{2}+y^{2}=r^{2}. Então o integrando times dS fica
(x^{2}+y^{2})\,dS = r^{2}\cdot (r\sqrt{2}\,dr\,d\theta)=\sqrt{2}\,r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Agora monto e calculo a integral dupla nos limites r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi]:
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} \sqrt{2}\,r^{3}\,dr\,d\theta.
Faço primeiro a integral em r:
\int_{r=0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Então
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = \sqrt{2}\cdot \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta = \sqrt{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot (2\pi)=\sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Simplificando o resultado: \sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}. Também podemos escrever este valor como \dfrac{\pi}{\sqrt{2}} porque \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Resultado final:
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = \frac{\pi}{\sqrt{2}}.

Resposta

\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}

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