Esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-2|+|\mathrm{x}+4|. Resolva a equação \mathrm{f}(\mathrm{x})=10.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar o gráfico da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-2|+|\mathrm{x}+4| e resolver a equação \mathrm{f}(\mathrm{x})=10.
Informações dadas e pontos importantes do enunciado:
  • A função é dada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-2|+|\mathrm{x}+4|.
  • As expressões dentro dos valores absolutos anulam em x=2 e x=-4. Esses valores vão dividir a reta em intervalos onde o comportamento da função muda.
    A partir daqui vamos usar essas informações para escrever a função em partes, entender o formato do gráfico e então resolver a equação.

Passo 2

Lembrete rápido sobre valor absoluto (mini-aula): o valor absoluto de um número a\) é definido por \[|a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\\\ -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isso significa que, para tratar |\mathrm{x}-2|\] e \(|\mathrm{x}+4|, precisamos olhar o sinal de \mathrm{x}-2 e de \mathrm{x}+4. Os pontos em que mudam de sinal são exatamente \mathrm{x}=2 e \mathrm{x}=-4. Portanto dividimos a reta em três intervalos:
(-\infty,-4],\quad [-4,2],\quad [2,\infty).
Em cada intervalo substituímos cada valor absoluto pela sua expressão sem módulo (com sinal adequado) e obtemos uma expressão mais simples, sem módulo.

Passo 3

Vamos obter a expressão da função em cada intervalo, mostrando as contas passo a passo.
Intervalo 1: \mathrm{x}\le -4.
Aqui \mathrm{x}-2\le -6<0 e \mathrm{x}+4\le 0. Então
|\mathrm{x}-2|=-(\mathrm{x}-2)=2-\mathrm{x}, \qquad |\mathrm{x}+4|=-(\mathrm{x}+4)=-\mathrm{x}-4.
Somando:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=(2-\mathrm{x})+(-\mathrm{x}-4)= -2\mathrm{x}-2.
Intervalo 2: -4\le \mathrm{x}\le 2.
Aqui \mathrm{x}+4\ge 0 e \mathrm{x}-2\le 0. Então
|\mathrm{x}+4|=\mathrm{x}+4, \qquad |\mathrm{x}-2|=2-\mathrm{x}.
Somando:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}+4)+(2-\mathrm{x})=6.
Observe que dá uma constante: a soma das distâncias de um ponto x até -4 e até 2 quando x está entre esses pontos é justamente a distância entre -4 e 2, ou seja 6. (Dica geométrica: soma de distâncias ao longo da reta.)
Intervalo 3: \mathrm{x}\ge 2.
Aqui \mathrm{x}-2\ge 0 e \mathrm{x}+4\ge 0. Então
|\mathrm{x}-2|=\mathrm{x}-2, \qquad |\mathrm{x}+4|=\mathrm{x}+4.
Somando:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-2)+(\mathrm{x}+4)=2\mathrm{x}+2.
Resumindo, obtemos a expressão por partes da função.

Passo 4

Interpretação gráfica (como esboçar passo a passo):
  • No intervalo [-4,2] a função é constante e vale 6. Então no gráfico há um segmento horizontal em y=6 que vai de x=-4 até x=2.
  • Para x\le -4 a função é linear com fórmula -2\mathrm{x}-2. Isso é uma reta de coeficiente angular (inclinação) -2 que se conecta ao ponto (-4,6).
  • Para x\ge 2 a função é linear com fórmula 2\mathrm{x}+2. Isso é uma reta de inclinação 2 que se conecta ao ponto (2,6).
  • Valores e pontos chave (úteis para desenhar): calcule em alguns pontos
\mathrm{f}(-4)=6,\qquad \mathrm{f}(2)=6.
Se quiser mais pontos para guiar o esboço, por exemplo calcule \mathrm{f}(-6) e \mathrm{f}(4) (isso também serve para a equação que vamos resolver):
\mathrm{f}(-6)=-2(-6)-2=12-2=10, \qquad \mathrm{f}(4)=2\cdot 4+2=8+2=10.
Então o gráfico tem pontos (-6,10), (-4,6), (2,6), (4,10). À esquerda de -4 a reta sobe com inclinação -2 quando vamos para a direita (ou seja desce para a esquerda), e à direita de 2 a reta sobe com inclinação 2. À medida que |x|\to\infty a função cresce linearmente para infinito.

Passo 5

Agora resolvemos a equação \mathrm{f}(\mathrm{x})=10 usando as expressões por partes. Vamos analisar cada intervalo e ver se há solução no intervalo correspondente.
Para \mathrm{x}\le -4 temos \mathrm{f}(\mathrm{x})=-2\mathrm{x}-2. Resolve
-2\mathrm{x}-2=10.
Isolando \mathrm{x}:
-2\mathrm{x}=12 \implies \mathrm{x}=-6.
Verificamos se \mathrm{x}=-6 pertence ao intervalo \mathrm{x}\le -4. Como -6\le -4 a solução é válida.
Para -4\le \mathrm{x}\le 2 temos \mathrm{f}(\mathrm{x})=6. Resolver 6=10 não tem solução. Então nenhum x nesse intervalo satisfaz a equação.
Para \mathrm{x}\ge 2 temos \mathrm{f}(\mathrm{x})=2\mathrm{x}+2. Resolve
2\mathrm{x}+2=10.
Isolando \mathrm{x}:
2\mathrm{x}=8 \implies \mathrm{x}=4.
Verificamos se \mathrm{x}=4 pertence ao intervalo \mathrm{x}\ge 2. Como 4\ge 2 a solução é válida.
Portanto as soluções da equação são \mathrm{x}=-6 e \mathrm{x}=4.

Passo 6

Resumo prático para o esboço (o que desenhar): desenhe um segmento horizontal em y=6 de x=-4 até x=2; a partir de (-4,6) prolongue uma reta de inclinação -2 para a esquerda; a partir de (2,6) prolongue uma reta de inclinação 2 para a direita. Marque os pontos (-6,10) e (4,10) que são as interseções com a reta y=10 e correspondem às soluções que encontramos. Boa! Você já tem o esboço e as soluções.

Resposta

\mathrm{f}(\mathrm{x})=\begin{cases} -2\mathrm{x}-2, & \mathrm{x}\le -4,\\[4pt] 6, & -4\le \mathrm{x}\le 2,\\[4pt] 2\mathrm{x}+2, & \mathrm{x}\ge 2, \end{cases}
\mathrm{x}=-6 e \mathrm{x}=4]

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