Esboce o gráfico de
. Resolva a equação
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar o gráfico da função
e resolver a equação
.
Informações dadas e pontos importantes do enunciado:
Informações dadas e pontos importantes do enunciado:
- A função é dada por
. - As expressões dentro dos valores absolutos anulam em
e . Esses valores vão dividir a reta em intervalos onde o comportamento da função muda.
A partir daqui vamos usar essas informações para escrever a função em partes, entender o formato do gráfico e então resolver a equação.
Passo 2
Lembrete rápido sobre valor absoluto (mini-aula): o valor absoluto de um número
Isso significa que, para tratar
, precisamos olhar o sinal de
e de
. Os pontos em que mudam de sinal são exatamente
e
. Portanto dividimos a reta em três intervalos:
Em cada intervalo substituímos cada valor absoluto pela sua expressão sem módulo (com sinal adequado) e obtemos uma expressão mais simples, sem módulo.
Passo 3
Vamos obter a expressão da função em cada intervalo, mostrando as contas passo a passo.
Intervalo 1:
.
Aqui e
. Então
Aqui
Somando:
Intervalo 2:
.
Aqui e
. Então
Aqui
Somando:
Observe que dá uma constante: a soma das distâncias de um ponto
até
e até
quando
está entre esses pontos é justamente a distância entre
e
, ou seja
. (Dica geométrica: soma de distâncias ao longo da reta.)
Intervalo 3:
.
Aqui e
. Então
Aqui
Somando:
Resumindo, obtemos a expressão por partes da função.
Passo 4
Interpretação gráfica (como esboçar passo a passo):
- No intervalo
a função é constante e vale . Então no gráfico há um segmento horizontal em que vai de até . - Para
a função é linear com fórmula . Isso é uma reta de coeficiente angular (inclinação) que se conecta ao ponto . - Para
a função é linear com fórmula . Isso é uma reta de inclinação que se conecta ao ponto . - Valores e pontos chave (úteis para desenhar): calcule em alguns pontos
Se quiser mais pontos para guiar o esboço, por exemplo calcule
e
(isso também serve para a equação que vamos resolver):
Então o gráfico tem pontos
,
,
,
. À esquerda de
a reta sobe com inclinação
quando vamos para a direita (ou seja desce para a esquerda), e à direita de
a reta sobe com inclinação
. À medida que
a função cresce linearmente para infinito.
Passo 5
Agora resolvemos a equação
usando as expressões por partes. Vamos analisar cada intervalo e ver se há solução no intervalo correspondente.
Para
temos
. Resolve
Isolando
:
Verificamos se
pertence ao intervalo
. Como
a solução é válida.
Para
temos
. Resolver
não tem solução. Então nenhum
nesse intervalo satisfaz a equação.
Para
temos
. Resolve
Isolando
:
Verificamos se
pertence ao intervalo
. Como
a solução é válida.
Portanto as soluções da equação são
e
.
Passo 6
Resumo prático para o esboço (o que desenhar): desenhe um segmento horizontal em
de
até
; a partir de
prolongue uma reta de inclinação
para a esquerda; a partir de
prolongue uma reta de inclinação
para a direita. Marque os pontos
e
que são as interseções com a reta
e correspondem às soluções que encontramos. Boa! Você já tem o esboço e as soluções.