Calcule os limites:
lim x 0 1+x-e^x1-cos x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limx to 0 1 + x - e^x1 - cos x. Esse é um limite com forma indeterminada 0/0, e vamos usar séries de Taylor (Maclaurin) para resolver.

Passo 2

Quando temos uma função suave em torno de 0, podemos aproximá-la por sua série de Taylor. Para nossa finalidade precisamos de:
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + O(x^4),
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)

Passo 3

Substituindo essas expansões no numerador e no denominador temos:
Numerador:
1 + x - e^x = 1 + x - l(1 + x + x^22 + x^36 + O(x^4)r) = -x^22 - x^36 + O(x^4)
Denominador:
1 - cos x = 1 - l(1 - x^22 + x^424 + O(x^6)r) = x^22 - x^424 + O(x^6)

Passo 4

Agora o quociente fica
1 + x - e^x1 - cos x = -x^22 - x^36 + O(x^4)x^22 - x^424 + O(x^6)
Fatorando tfracx^22 em cima e embaixo:
= tfracx^22l(-1 - tfracx3 + O(x^2)r)tfracx^22l(1 - tfracx^212 + O(x^4)r) = -1 cdot 1 + tfracx3 + O(x^2)1 - tfracx^212 + O(x^4)

Passo 5

À medida que x to 0, os termos de ordem superior desaparecem, restando
limxto0 1 + x - e^x1 - cos x = -1

Resposta

-1

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