Exemplos: Calcule a transformada das funções abaixo:
f(t)=A cdot e^b cdot t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=A·e^{b·t}. O conteúdo envolve a definição da transformada de Laplace e a propriedade de linearidade. Vamos usar a definição integral e a propriedade de que a transformada de e^{a·t} é 1/(s−a).

Passo 2

A definição de transformada de Laplace é
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-s t,dt
Aplicando ao nosso f(t)=A·e^{b·t} e usando a propriedade de fator constante (linearidade):
LA·e^b·t(s)=Aintegral0^inftye^b·te^-s t,dt

Passo 3

Dentro da integral, combinamos os expoentes:
e^b·te^-s t=e^-(s−b)t
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LA·e^b·t(s)=Aintegral0^inftye^-(s−b)t,dt

Passo 4

Agora basta calcular a integral básica de uma exponencial decrescente. Para Re(s)>b, temos:
integral0^inftye^-(s−b)t,dt=l[e^-(s−b)t-(s−b)r]0^infty=1s−b
Multiplicando pelo A resulta

Passo 5

Concluímos que a transformada de Laplace de f(t)=A·e^{b·t} é dada por A/(s−b), válida para Re(s)>b.

Resposta

F(s)=As-b

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