Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região
delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o Método dos Discos.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região
delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
, usando o Método dos Discos (ou dos Anéis/“washers”). \n
Informações dadas e necessárias: \n
Informações dadas e necessárias: \n
- As curvas que delimitam
são , e . \n - O eixo de rotação é a reta horizontal
. \n - Queremos montar a(s) integral(is) em
que, usando a área do disco/anél , dá o volume total. \n
A resolução (cálculos de interseções, determinação de qual curva é topo/fundo em cada intervalo e montagem das expressões para raios) começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção entre cada par de curvas — isso vai determinar os intervalos de
onde a região é descrita por diferentes pares de fronteiras. Faço isso resolvendo equações simples entre as funções: \n
- Interseção entre
e :\n
Nesse ponto
. Então uma interseção é
. \n
2) Interseção entre e
:\n
2) Interseção entre
Testando raízes inteiras,
é raiz porque
. Assim
é a interseção real relevante; o outro fator quadrático não tem raízes reais. Nesse ponto
. Interseção:
. \n
3) Interseção entre e
:\n
3) Interseção entre
(os outros dois são complexos). Para
,
. Interseção:
. \n
Resumo das abscissas de intersecção: . Esses valores dividem o eixo
em os intervalos onde a fronteira inferior da região muda.
Resumo das abscissas de intersecção:
Passo 3
Precisamos saber, em cada intervalo de
, qual curva é a fronteira superior (topo) e qual é a inferior (fundo) da região
. Vou testar valores típicos: \n
- Peço um ponto em
, por exemplo . Avaliando as funções:\n
Ordem dos valores em
:
(maior), depois
, depois
. Assim, no intervalo
a região
está entre
e
. \n
- Peço um ponto em
, por exemplo . Avaliando:\n
Ordem em
:
(maior), depois
, depois
. Assim, no intervalo
a região
está entre
e
. \n
Portanto, a fronteira superior é em ambos os subintervalos, e a fronteira inferior troca de
(para
) para
(para
).
Portanto, a fronteira superior é
Passo 4
Agora explico o Método dos Discos/Anéis (washers) para este caso. Quando giramos uma região plana em torno de uma reta horizontal (aqui
), o volume gerado por uma fatia vertical de espessura
é igual à área do anel formado por dois círculos concentricos (o círculo externo gerado pela curva superior e o círculo interno gerado pela curva inferior) multiplicada por
. \n
A área do anel em função de é
, onde: \n
A área do anel em função de
-
é o raio externo, isto é, a distância vertical entre a curva superior e a reta : . \n -
é o raio interno, a distância vertical entre a curva inferior e : . \n
O volume total é a integral ao longo dedo somatório das áreas desses anéis nos intervalos que cobrem a região.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, em cada subintervalo usamos as funções topo/fundo identificadas: \n
- Para
: e . \n
Então os raios são:\n
A área do anel é
. \n
- Para
: e . \n
Raios:\n
A área do anel é
.
Passo 6
Agora escrevemos a integral do volume como a soma das integrais em cada subintervalo. Usando as expressões de área do passo anterior, temos:\n
Essa é a integral que calcula o volume do sólido de revolução pedido, montada pelo Método dos Discos (washers), integrando em
sobre os intervalos determinados pelas interseções.
Passo 7
Para comparar com as opções dadas no enunciado, note que a expressão encontrada é exatamente:\n
Esta forma coincide com uma das alternativas apresentadas.
Resposta
f