Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região S delimitada pelas curvas y=x^{3}+1, y=x+7 e y=-\frac{x}{2}+1 em torno do eixo y=-1 usando o Método dos Discos.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \pi \int_{-4}^{0}\left[\left(x+8+\frac{x}{2}\right)^{2}-(1)^{2}\right] d x+\pi \int_{0}^{2}\left[\left(x+8-x^{3}\right)^{2}-(1)^{2}\right] d x
\bigcirc b. \pi \int_{-2}^{2}\left[\left(x+3+\frac{x}{2}-x^{3}\right)^{2}+(1)^{2}\right] d x
\bigcirc c. \pi \int_{-2}^{0}\left[(x+7)^{2}-\left(-\frac{x}{2}+1\right)^{2}\right] d x+\pi \int_{0}^{2}\left[(x+7)^{2}-\left(x^{3}+1\right)^{2}\right] d x
\bigcirc d. \pi \int_{-2}^{0}\left[\left(x+6+\frac{x}{2}\right)^{2}\right] d x+\pi \int_{0}^{2}\left[\left(x+6-x^{3}\right)^{2}\right] d x
\bigcirc e. \pi \int_{-4}^{0}\left[(x+6)^{2}-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right] d x+\pi \int_{0}^{2}\left[(x+6)^{2}-\left(x^{3}\right)^{2}\right] d x
\bigcirc f. \pi \int_{-4}^{0}\left[(x+8)^{2}-\left(-\frac{x}{2}+2\right)^{2}\right] d x+\pi \int_{0}^{2}\left[(x+8)^{2}-\left(x^{3}+2\right)^{2}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região S delimitada pelas curvas y=x^{3}+1, y=x+7 e y=-\tfrac{x}{2}+1 em torno do eixo y=-1, usando o Método dos Discos (ou dos Anéis/“washers”). \n
Informações dadas e necessárias: \n
  • As curvas que delimitam S são y=x^{3}+1, y=x+7 e y=-\tfrac{x}{2}+1. \n
  • O eixo de rotação é a reta horizontal y=-1. \n
  • Queremos montar a(s) integral(is) em x que, usando a área do disco/anél \pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big), dá o volume total. \n
    A resolução (cálculos de interseções, determinação de qual curva é topo/fundo em cada intervalo e montagem das expressões para raios) começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção entre cada par de curvas — isso vai determinar os intervalos de x onde a região é descrita por diferentes pares de fronteiras. Faço isso resolvendo equações simples entre as funções: \n
  1. Interseção entre y=x+7 e y=-\tfrac{x}{2}+1:\n
x+7=-\tfrac{x}{2}+1
x+\tfrac{x}{2}=1-7=-6
\tfrac{3}{2}x=-6\quad\Rightarrow\quad x=-4.
Nesse ponto y=x+7=-4+7=3. Então uma interseção é (-4,3). \n
2) Interseção entre y=x+7 e y=x^{3}+1:\n
x+7=x^{3}+1
x^{3}-x-6=0.
Testando raízes inteiras, x=2 é raiz porque 8-2-6=0. Assim x=2 é a interseção real relevante; o outro fator quadrático não tem raízes reais. Nesse ponto y=2+7=9. Interseção: (2,9). \n
3) Interseção entre y=x^{3}+1 e y=-\tfrac{x}{2}+1:\n
x^{3}+1=-\tfrac{x}{2}+1
x^{3}+\tfrac{x}{2}=0
x\Big(x^{2}+\tfrac{1}{2}\Big)=0\quad\Rightarrow\quad x=0
(os outros dois são complexos). Para x=0, y=1. Interseção: (0,1). \n
Resumo das abscissas de intersecção: x=-4,\,0,\,2. Esses valores dividem o eixo x em os intervalos onde a fronteira inferior da região muda.

Passo 3

Precisamos saber, em cada intervalo de x, qual curva é a fronteira superior (topo) e qual é a inferior (fundo) da região S. Vou testar valores típicos: \n
  • Peço um ponto em (-4,0), por exemplo x=-2. Avaliando as funções:\n
y_{1}=x^{3}+1=(-2)^{3}+1=-8+1=-7,
y_{2}=x+7=-2+7=5,
y_{3}=-\tfrac{x}{2}+1=-\tfrac{-2}{2}+1=1+1=2.
Ordem dos valores em x=-2: y_{2}=5 (maior), depois y_{3}=2, depois y_{1}=-7. Assim, no intervalo [-4,0] a região S está entre y_{\text{top}}=x+7 e y_{\text{bottom}}=-\tfrac{x}{2}+1. \n
  • Peço um ponto em (0,2), por exemplo x=1. Avaliando:\n
y_{1}=1^{3}+1=2,
y_{2}=1+7=8,
y_{3}=-\tfrac{1}{2}+1=0,5.
Ordem em x=1: y_{2}=8 (maior), depois y_{1}=2, depois y_{3}=0,5. Assim, no intervalo [0,2] a região S está entre y_{\text{top}}=x+7 e y_{\text{bottom}}=x^{3}+1. \n
Portanto, a fronteira superior é y=x+7 em ambos os subintervalos, e a fronteira inferior troca de y=-\tfrac{x}{2}+1 (para -4\le x\le0) para y=x^{3}+1 (para 0\le x\le2).

Passo 4

Agora explico o Método dos Discos/Anéis (washers) para este caso. Quando giramos uma região plana em torno de uma reta horizontal (aqui y=-1), o volume gerado por uma fatia vertical de espessura dx é igual à área do anel formado por dois círculos concentricos (o círculo externo gerado pela curva superior e o círculo interno gerado pela curva inferior) multiplicada por dx. \n
A área do anel em função de x é \pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big), onde: \n
  • R(x) é o raio externo, isto é, a distância vertical entre a curva superior e a reta y=-1: R(x)=y_{\text{top}}(x)-(-1)=y_{\text{top}}(x)+1. \n
  • r(x) é o raio interno, a distância vertical entre a curva inferior e y=-1: r(x)=y_{\text{bottom}}(x)-(-1)=y_{\text{bottom}}(x)+1. \n
    O volume total é a integral ao longo de x do somatório das áreas desses anéis nos intervalos que cobrem a região.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, em cada subintervalo usamos as funções topo/fundo identificadas: \n
  • Para -4\le x\le0: \;y_{\text{top}}(x)=x+7 e \;y_{\text{bottom}}(x)=-\tfrac{x}{2}+1. \n
    Então os raios são:\n
R(x)= (x+7)+1 = x+8,
r(x)= \Big(-\tfrac{x}{2}+1\Big)+1 = -\tfrac{x}{2}+2.
A área do anel é \pi\big((x+8)^{2}-(-\tfrac{x}{2}+2)^{2}\big). \n
  • Para 0\le x\le2: \;y_{\text{top}}(x)=x+7 e \;y_{\text{bottom}}(x)=x^{3}+1. \n
    Raios:\n
R(x)= (x+7)+1 = x+8,
r(x)= (x^{3}+1)+1 = x^{3}+2.
A área do anel é \pi\big((x+8)^{2}-(x^{3}+2)^{2}\big).

Passo 6

Agora escrevemos a integral do volume como a soma das integrais em cada subintervalo. Usando as expressões de área do passo anterior, temos:\n
V=\pi\int_{-4}^{0}\Big[(x+8)^{2}-\Big(-\tfrac{x}{2}+2\Big)^{2}\Big]\,dx \;+\; \pi\int_{0}^{2}\Big[(x+8)^{2}-(x^{3}+2)^{2}\Big]\,dx.
Essa é a integral que calcula o volume do sólido de revolução pedido, montada pelo Método dos Discos (washers), integrando em x sobre os intervalos determinados pelas interseções.

Passo 7

Para comparar com as opções dadas no enunciado, note que a expressão encontrada é exatamente:\n
\pi\int_{-4}^{0}\big[(x+8)^{2}-\big(-\tfrac{x}{2}+2\big)^{2}\big]\,dx +\pi\int_{0}^{2}\big[(x+8)^{2}-(x^{3}+2)^{2}\big]\,dx.
Esta forma coincide com uma das alternativas apresentadas.

Resposta

f

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