Leia com atenção as afirmações:
(III) A função y(x)=-1+x+\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n!} é uma solução da EDO y^{\prime}+y=x.
Passo 1
O enunciado dá a função
y(x) = -1 + x + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n!}
e pergunta se ela é solução da equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' + y = x.
Informações relevantes: a função é escrita como soma de termos polinomiais e uma série de potências; precisamos verificar se, ao calcular y'(x) e somar com y(x), obtemos exatamente x para todo x (ou seja, identidade válida para todos os x em que a série converge).
Passo 2
Identificar a série: a série
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n!}
é a série de Taylor da função exponencial avaliada em -x. Por definição da exponencial,
portanto a série converge para todo x (raio de convergência infinito). Para séries de potência, dentro do raio de convergência pode-se diferenciar termo a termo sem problema, então tanto a identificação com e^{-x} quanto a diferenciação série-a-série são válidas para todo x.
Passo 4
Calcular y'(x) de duas maneiras (mostrando que ambas coincidem):
Maneira 1 — usando a forma compacta y(x)=-1+x+e^{-x}:
Portanto a derivada do termo série é -e^{-x}, e somando as derivadas dos termos -1 e x obtemos novamente
y'(x)=1-e^{-x}.
Passo 5
Verificar a equação diferencial substituindo y e y':
y'(x)+y(x)=(1-e^{-x})+(-1+x+e^{-x}).
Agrupando termos,
(1-1)+(-e^{-x}+e^{-x})+x = x.
Logo temos a identidade
y'(x)+y(x)=x
válida para todo x. Portanto a função dada satisfaz a EDO.
Passo 6
Conclusão e observação final: como mostramos que a igualdade acima é uma identidade para todo x, a afirmação (III) é correta. (Observação rápida: isto também indica que a solução explícita da EDO y'+y=x pode ser escrita como y(x)=-1+x+e^{-x}, que coincide com a função dada.)