Leia com atenção as afirmações:
(III) A função y(x)=-1+x+\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n!} é uma solução da EDO y^{\prime}+y=x.

Passo 1

O enunciado dá a função
y(x) = -1 + x + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n!}
e pergunta se ela é solução da equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' + y = x.
Informações relevantes: a função é escrita como soma de termos polinomiais e uma série de potências; precisamos verificar se, ao calcular y'(x) e somar com y(x), obtemos exatamente x para todo x (ou seja, identidade válida para todos os x em que a série converge).

Passo 2

Identificar a série: a série
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n!}
é a série de Taylor da função exponencial avaliada em -x. Por definição da exponencial,
e^{t}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{t^{n}}{n!}.
Tomando t=-x obtemos
e^{-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n} x^{n}}{n!}.
Logo podemos reescrever y(x) de forma compacta como
y(x) = -1 + x + e^{-x}.

Passo 3

Justificar a manipulação da série (convergência e diferenciação termo a termo): os coeficientes são a_n = \dfrac{(-1)^n}{n!}. Pelo teste da razão,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0,
portanto a série converge para todo x (raio de convergência infinito). Para séries de potência, dentro do raio de convergência pode-se diferenciar termo a termo sem problema, então tanto a identificação com e^{-x} quanto a diferenciação série-a-série são válidas para todo x.

Passo 4

Calcular y'(x) de duas maneiras (mostrando que ambas coincidem):
Maneira 1 — usando a forma compacta y(x)=-1+x+e^{-x}:
y'(x)=0+1+\frac{d}{dx}e^{-x}=1+(-1)e^{-x}=1-e^{-x}.
Maneira 2 — diferenciando a série termo a termo (mostrando detalhe didático):
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{n!}\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n n x^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{n-1}}{(n-1)!}.
Fazendo a mudança de índice m=n-1 obtém-se
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1} x^{m}}{m!}=-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m} x^{m}}{m!} = -e^{-x}.
Portanto a derivada do termo série é -e^{-x}, e somando as derivadas dos termos -1 e x obtemos novamente
y'(x)=1-e^{-x}.

Passo 5

Verificar a equação diferencial substituindo y e y':
y'(x)+y(x)=(1-e^{-x})+(-1+x+e^{-x}).
Agrupando termos,
(1-1)+(-e^{-x}+e^{-x})+x = x.
Logo temos a identidade
y'(x)+y(x)=x
válida para todo x. Portanto a função dada satisfaz a EDO.

Passo 6

Conclusão e observação final: como mostramos que a igualdade acima é uma identidade para todo x, a afirmação (III) é correta. (Observação rápida: isto também indica que a solução explícita da EDO y'+y=x pode ser escrita como y(x)=-1+x+e^{-x}, que coincide com a função dada.)

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados