Resolva os problemas
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de quarta ordem com impulso deslocado: y^{(4)} - y = \delta_{1}(t), sujeita a condições iniciais nulas. O conteúdo envolve transformada de Laplace, propriedades de impulso deslocado e decomposição em frações parciais para inverter a transformada.
Passo 2
Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados. Como todas as derivadas iniciais são zero, temos
portanto a equação transforma-se em
Isto leva a
Passo 3
Como aparece o fator e^{-s}, já antevemos a propriedade de retardo: y(t) será nulo para t<1 e para t\ge1 virá de h(t-1), onde
Agora vamos achar h(t) fazendo frações parciais em 1/(s^{4}-1).
Passo 4
Fatoramos o denominador:
Procuramos constantes A, B, C, D tais que
Resolvendo o sistema, obtemos A=\tfrac14, B=-\tfrac14, C=0, D=-\tfrac12.
Passo 5
Substituindo na transformada e invertendo termo a termo:
Logo,
válido para t\ge0.
Passo 6
Como Y(s) continha fator e^{-s}, aplicamos a regra de deslocamento na hora t=1. Assim a solução da EDO é
onde H(\cdot) é a função de Heaviside.
Passo 7
Confirmamos que para t<1 y(t)=0 e para t\ge1 seguimos a forma acima, atendendo às condições iniciais nulas.