Resolva os problemas
y^(4)-y=de;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de quarta ordem com impulso deslocado: y^{(4)} - y = \delta_{1}(t), sujeita a condições iniciais nulas. O conteúdo envolve transformada de Laplace, propriedades de impulso deslocado e decomposição em frações parciais para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados. Como todas as derivadas iniciais são zero, temos
Ly^(4) = s^4Y(s),
portanto a equação transforma-se em
s^4Y(s) - Y(s) = Lde
Isto leva a
Y(s) = e^-ss^4 - 1

Passo 3

Como aparece o fator e^{-s}, já antevemos a propriedade de retardo: y(t) será nulo para t<1 e para t\ge1 virá de h(t-1), onde
h(t)=L^-1l1s^4-1r
Agora vamos achar h(t) fazendo frações parciais em 1/(s^{4}-1).

Passo 4

Fatoramos o denominador:
s^4-1=(s-1)(s+1)(s^2+1)
Procuramos constantes A, B, C, D tais que
1(s-1)(s+1)(s^2+1)=As-1+Bs+1+Cs+Ds^2+1
Resolvendo o sistema, obtemos A=\tfrac14, B=-\tfrac14, C=0, D=-\tfrac12.

Passo 5

Substituindo na transformada e invertendo termo a termo:
1s^4-1=141s-1-141s+1-121s^2+1
Logo,
h(t)=14e^t-14e^-t-12sin t =12sinh t-12sin t,
válido para t\ge0.

Passo 6

Como Y(s) continha fator e^{-s}, aplicamos a regra de deslocamento na hora t=1. Assim a solução da EDO é
y(t)=H(t-1),h(t-1) =H(t-1)l[tfrac12sinh(t-1)-tfrac12sin(t-1)r],
onde H(\cdot) é a função de Heaviside.

Passo 7

Confirmamos que para t<1 y(t)=0 e para t\ge1 seguimos a forma acima, atendendo às condições iniciais nulas.

Resposta

y(t)=H(t-1),12l[sinh(t-1)-sin(t-1)r]

Exercícios relacionados