Encontre a integral dupla usando coordenadas polares:
integral triplax^2+y^2 <= a^2 e^1+x^2+y^2 d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplax^2+y^2<= a^2e^1+x^2+y^2,dx,dy
sobre o disco de raio a. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, onde usaremos x=rcostheta, y=rsintheta e o fator extra r do jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas polares a região x^2+y^2<= a^2 vira
0<= r<= a, 0<= theta<= 2pi,
e a área elementar dx,dy se transforma em r,dr,dtheta.

Passo 3

Substituindo no integrando temos
e^1+x^2+y^2 = e^1+r^2
e portanto a integral fica
integral duplaDe^1+x^2+y^2,dx,dy =integral0^2pi!!integral0^ae^1+r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Como a parte em theta é constante, separamos:
integral0^2pidtheta = 2pi,
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integral duplaDdots =2piintegral0^ae^1+r^2,r,dr
Para a integral em r, fazemos a substituição u=1+r^2, de modo que du=2r,dr, ou seja r,dr=tfrac12du.

Passo 5

Aplicando u=1+r^2 nos limites r=0to u=1 e r=ato u=1+a^2, obtemos
2piintegral0^ae^1+r^2,r,dr =2piintegralu=1^,1+a^2e^u,du2 =pil[e^ur]1^,1+a^2 =pil(e^1+a^2-e^1r)

Resposta

integral duplax^2+y^2<= a^2e^1+x^2+y^2,dx,dy =pi el(e^a^2-1r)

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