a) lim x 0 x-sin xx^3
b) lim x +infty x e^xe^x^2
c) lim x 0^+ x^2 e^1x
d) lim x 12^- ln (1-2 x)tan (pi x)
e) lim x +infty x(pi2-arctan x)
f) lim x 0^+(1x+ln x)
g) lim x 0 ln (1+x^2)x arctan x
h) lim x 0 e^x^3-1x-arctan x
i) lim x pi2(tan x sec x-sec ^2 x)
j) lim x 0 x sin x+2 x^2e^x+e^-x-2
k) lim x +infty(x+4) ln (x+3x+2)
l) lim x 0(1+sin (2 x))^1sin x
m) lim x 0^+(sin x)^1ln x
n) lim x 0(x sin x)^tan x
o) lim x 0(e^x+3 x)^1x
p) lim x 0(sin xx)^1 / x
q) lim x 0^+(1+1x)^x
r) lim x +infty(1+1x)^x^2
s) lim x +infty(1+e^-x)^x
t) lim x 0^+(1-cos x)^x
u) lim x 1^+(ln x)^x-1
v) lim x +infty(pi2-arctan x)^1x^2
w) lim x 0(1ln (x+1)-1e^x-1)
x) lim x 0(11-cos x-1x)
y) lim x 0(11-cos x-2x^2)
z) lim x +infty x(e-(1+1x)^x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma grande coleção de limites envolvendo funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas) em pontos como 0, +infty e pontos de descontinuidade aparente. O conteúdo principal é o uso de expansões de Taylor (ou equivalentes infinitésimos) e, quando necessário, a regra de L’Hôpital para resolver indeterminações.

Passo 2

A estratégia geral é:
  1. Para limites na forma xto 0 ou xto 0^+, usar as séries de Taylor em torno de 0: sin x = x - tfracx^36 + O(x^5), cos x = 1 - tfracx^22 + tfracx^424+O(x^6),
tan x = x + tfracx^33 + O(x^5), e^u = 1+u+tfracu^22+O(u^3), ln(1+u)=u-tfracu^22+O(u^3)
  1. Para limites em xto+infty, comparar ordens de crescimento (por exemplo, e^x^2 domina xe^x), ou usar substituições adequadas.
  2. Quando aparecer indeterminação do tipo tfrac00 ou tfracinftyinfty e for mais direto, aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Preparando as expansões que usaremos:
sin x = x - tfracx^36+O(x^5), arctan x = x - tfracx^33+O(x^5),
e^x = 1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 +O(x^4), ln(1+u)=u-tfracu^22+tfracu^33+O(u^4),
cos x = 1 - tfracx^22 + tfracx^424 +O(x^6), tan x = x + tfracx^33+O(x^5)
Para composições (como e^1/x quando xto0^+), observar o comportamento exponencial dominante.

Passo 4

Aplicando as expansões ou comparações a cada item, chega-se a:
a) tfrac16
b) 0
c) 0
d) 2/pi
e) 1
f) -infty
g) 2
h) 3
i) 0
j) 1
k) 1
l) e^2
m) e^-1
n) 1
o) e^3
p) e^-tfrac12
q) e
r) +infty
s) 1
t) 1
u) 1
v) 1
w) tfrac16
x) tfrac16
y) tfrac112
z) tfrace2

Resposta

a) 16
b) 0
c) 0
d) 2pi
e) 1
f) -infty
g) 2
h) 3
i) 0
j) 1
k) 1
l) e^2
m) e^-1
n) 1
o) e^3
p) e^-tfrac12
q) e
r) +infty
s) 1
t) 1
u) 1
v) 1
w) tfrac16
x) tfrac16
y) tfrac112
z) tfrace2

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