Mostre que se a equação r^2+(b-1) r+c=0 tem duas raízes reais e distintas r1 e r2, então y1(x)=x^r1 e y2(x)=x^r2 são soluções fundamentais da equação x^2 y^prime prime+b x y^prime+c y=0, inicialmente para x>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do segundo grau: $ x^{2} y’’ + b x y’ + c y = 0 $. A tarefa é mostrar que se a equação quadrática $ r^{2} + (b-1) r + c = 0 $ tem duas raízes reais e distintas, chamadas $ r_{1} $ e $ r_{2} $, então as funções $ y_{1}(x) = x^{r_{1}} $ e $ y_{2}(x) = x^{r_{2}} $ são soluções fundamentais dessa equação diferencial para $ x > 0 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e teoria das equações de Euler (ou equações homogêneas de coeficientes constantes).

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da equação diferencial tem a forma $ y = x^{r} $. Isso é uma técnica comum para resolver equações de Euler, onde assumimos uma solução que é uma potência de $ x $. Nossa ideia é encontrar o valor de $ r $ que satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y = x^{r} $. A primeira derivada é:
y = x^r
E a segunda derivada é:
y' = ddx (x^r) = r x^r-1

Passo 4

Vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
y
Substituindo as derivadas:
y'
Simplificando cada termo:
  • O primeiro termo: $ x^{2} \cdot r (r-1) x^{r-2} = r (r-1) x^{r} $
  • O segundo termo: $ b x \cdot r x^{r-1} = b r x^{r} $
  • O terceiro termo: $ c x^{r} = c x^{r} $
Então, a equação fica:
y''

Passo 5

Fatorando $ x^{r} $ que não é zero para $ x > 0 $, temos:
x^r
Como $ x^{r} \neq 0 $ para $ x > 0 $, a expressão dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
x > 0
Distribuindo e juntando termos semelhantes:
x^r ( r (r-1) + b r + c ) = 0
x^r neq 0
Essa é exatamente a equação quadrática dada no enunciado!

Passo 6

Sabemos que a equação quadrática $ r^{2} + (b-1) r + c = 0 $ tem duas raízes reais e distintas, $ r_{1} $ e $ r_{2} $. Isso significa que existem dois valores de $ r $ que satisfazem a condição para que $ y = x^{r} $ seja solução da equação diferencial.

Passo 7

Portanto, substituindo $ r_{1} $ e $ r_{2} $ na forma da solução, temos duas soluções distintas:
r1
r2
Essas duas soluções são chamadas de soluções fundamentais da equação diferencial, pois são linearmente independentes e formam uma base para o espaço das soluções.

Resposta

Assim, mostramos que se a equação $ r^{2} + (b-1) r + c = 0 $ possui duas raízes reais e distintas $ r_{1} $ e $ r_{2} $, então as funções $ y_{1}(x) = x^{r_{1}} $ e $ y_{2}(x) = x^{r_{2}} $ são soluções fundamentais da equação diferencial $ x^{2} y’’ + b x y’ + c y = 0 $ para $ x > 0 $.

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