Mostre que se a equação
tem duas raízes reais e distintas
e
, então
e
são soluções fundamentais da equação
, inicialmente para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do segundo grau: $ x^{2} y’’ + b x y’ + c y = 0 $. A tarefa é mostrar que se a equação quadrática $ r^{2} + (b-1) r + c = 0 $ tem duas raízes reais e distintas, chamadas $ r_{1} $ e $ r_{2} $, então as funções $ y_{1}(x) = x^{r_{1}} $ e $ y_{2}(x) = x^{r_{2}} $ são soluções fundamentais dessa equação diferencial para $ x > 0 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e teoria das equações de Euler (ou equações homogêneas de coeficientes constantes).
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da equação diferencial tem a forma $ y = x^{r} $. Isso é uma técnica comum para resolver equações de Euler, onde assumimos uma solução que é uma potência de $ x $. Nossa ideia é encontrar o valor de $ r $ que satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y = x^{r} $. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:
Simplificando cada termo:
- O primeiro termo: $ x^{2} \cdot r (r-1) x^{r-2} = r (r-1) x^{r} $
- O segundo termo: $ b x \cdot r x^{r-1} = b r x^{r} $
- O terceiro termo: $ c x^{r} = c x^{r} $
Então, a equação fica:
Passo 5
Fatorando $ x^{r} $ que não é zero para $ x > 0 $, temos:
Como $ x^{r} \neq 0 $ para $ x > 0 $, a expressão dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
Distribuindo e juntando termos semelhantes:
Essa é exatamente a equação quadrática dada no enunciado!
Passo 6
Sabemos que a equação quadrática $ r^{2} + (b-1) r + c = 0 $ tem duas raízes reais e distintas, $ r_{1} $ e $ r_{2} $. Isso significa que existem dois valores de $ r $ que satisfazem a condição para que $ y = x^{r} $ seja solução da equação diferencial.
Passo 7
Portanto, substituindo $ r_{1} $ e $ r_{2} $ na forma da solução, temos duas soluções distintas:
Essas duas soluções são chamadas de soluções fundamentais da equação diferencial, pois são linearmente independentes e formam uma base para o espaço das soluções.
Resposta
Assim, mostramos que se a equação $ r^{2} + (b-1) r + c = 0 $ possui duas raízes reais e distintas $ r_{1} $ e $ r_{2} $, então as funções $ y_{1}(x) = x^{r_{1}} $ e $ y_{2}(x) = x^{r_{2}} $ são soluções fundamentais da equação diferencial $ x^{2} y’’ + b x y’ + c y = 0 $ para $ x > 0 $.