Encontre a integral indefinida das funções a seguir
f(t)=sec ^2 t+t^2

Passo 1

A questão pede para encontrar a primitiva de f(t)=sec^2 t + t^2, ou seja, calcular integral(sec^2 t + t^2),dt. O conteúdo envolvido é integração de funções básicas e vamos precisar das regras de linearidade da integral, da integral de sec^2 t e da regra da potência.

Passo 2

Usando a propriedade de linearidade da integral, dividimos em duas partes:
integrall(sec^2 t + t^2r),dt = integralsec^2 t,dt + integral t^2,dt

Passo 3

Para integralsec^2 t,dt, lembramos que a derivada de tan t é sec^2 t. Logo, pela definição de primitiva,
integralsec^2 t,dt = tan t + C1.

Passo 4

Para integral t^2,dt, usamos a regra da potência, que diz integral t^n,dt = t^n+1/(n+1) + C. Aqui n=2, então
integral t^2,dt = t^33 + C2.

Passo 5

Somando as duas primitivas e agrupando as constantes de integração ( C=C1+C2), chegamos à antiderivada geral:
F(t) = tan t + t^33 + C.

Resposta

tan t + t^33 + C

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