Encontre a Integral Indefinida
\int \cos ^{4} 3 \mathrm{x} \mathrm{dx}=

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos^{4}3x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é \cos^{4}3x. O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada seja a integranda), isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\cos^{4}3x. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a potência de cosseno usando identidade de redução de potência. Antes disso, aplicamos uma substituição simples para separar o fator interno 3x da derivação. Definimos
u=3x.
Então, derivando, obtemos
du=3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Com isso a integral transforma-se em
\int \cos^{4}3x \, dx = \frac{1}{3}\int \cos^{4}u \, du.

Passo 3

Agora vamos reduzir a potência \cos^{4}u. Usamos a identidade de redução para \cos^{2}:
\cos^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}.
Aplicando essa identidade com t=u, temos
\cos^{4}u=(\cos^{2}u)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2u}{2}\right)^{2}.
Vamos desenvolver esse quadrado cuidadosamente:
\left(\frac{1+\cos 2u}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\big(1+2\cos 2u+\cos^{2}2u\big).
Ainda temos um \cos^{2}2u que podemos reduzir com a mesma identidade (agora com t=2u):
\cos^{2}2u=\frac{1+\cos 4u}{2}.
Substituindo isso em cima obtemos
\cos^{4}u=\frac{1}{4}\left(1+2\cos 2u+\frac{1+\cos 4u}{2}\right).

Passo 4

Continuamos simplificando a expressão algébrica:
Primeiro compute o que está dentro dos parênteses:
1+2\cos 2u+\frac{1+\cos 4u}{2}=\frac{2}{2}+\frac{4\cos 2u}{2}+\frac{1+\cos 4u}{2}=\frac{3+4\cos 2u+\cos 4u}{2}.
Então
\cos^{4}u=\frac{1}{4}\cdot\frac{3+4\cos 2u+\cos 4u}{2}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2u+\frac{1}{8}\cos 4u.
Portanto a integral em u vira
\frac{1}{3}\int \cos^{4}u \, du = \frac{1}{3}\int\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2u+\frac{1}{8}\cos 4u\right)du.

Passo 5

Integramos termo a termo. Lembre-se da integral básica
\int \cos(ku)\,du=\frac{1}{k}\sin(ku)+C,
onde k é constante. Aplicando isso a cada termo:
  • \displaystyle \int \frac{3}{8}\,du=\frac{3}{8}u.
  • \displaystyle \int \frac{1}{2}\cos 2u\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2u=\frac{1}{4}\sin 2u.
  • \displaystyle \int \frac{1}{8}\cos 4u\,du=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\sin 4u=\frac{1}{32}\sin 4u.
Somando e lembrando do fator \frac{1}{3} que está à frente:
\frac{1}{3}\left(\frac{3}{8}u+\frac{1}{4}\sin 2u+\frac{1}{32}\sin 4u\right).

Passo 6

Multiplicamos por \frac{1}{3} e voltamos à variável original x usando u=3x:
Multiplicando:
\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}u=\frac{1}{8}u,\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\sin 2u=\frac{1}{12}\sin 2u,\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{32}\sin 4u=\frac{1}{96}\sin 4u.
Agora substituir u=3x e reescrever \sin 2u e \sin 4u:
u=3x,\quad \sin 2u=\sin 6x,\quad \sin 4u=\sin 12x.
Logo a primitiva é
\frac{1}{8}\cdot 3x+\frac{1}{12}\sin 6x+\frac{1}{96}\sin 12x + C.

Passo 7

Simplificando o primeiro termo \frac{1}{8}\cdot 3x=\frac{3}{8}x, obtemos a expressão final da primitiva. Se quiser conferir rapidamente, derive essa expressão e você encontrará \cos^{4}3x (pela regra da cadeia e pelas identidades trigonométricas que usamos).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{8}x+\frac{1}{12}\sin 6x+\frac{1}{96}\sin 12x+C

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