Encontre a Integral Indefinida
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada seja a integranda), isto é, uma expressão
tal que
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a potência de cosseno usando identidade de redução de potência. Antes disso, aplicamos uma substituição simples para separar o fator interno
da derivação. Definimos
Então, derivando, obtemos
Com isso a integral transforma-se em
Passo 3
Agora vamos reduzir a potência
. Usamos a identidade de redução para
:
Aplicando essa identidade com
, temos
Vamos desenvolver esse quadrado cuidadosamente:
Ainda temos um
que podemos reduzir com a mesma identidade (agora com
):
Substituindo isso em cima obtemos
Passo 4
Continuamos simplificando a expressão algébrica:
Primeiro compute o que está dentro dos parênteses:
Primeiro compute o que está dentro dos parênteses:
Então
Portanto a integral em
vira
Passo 5
Integramos termo a termo. Lembre-se da integral básica
onde
é constante. Aplicando isso a cada termo:
Somando e lembrando do fator
que está à frente:
Passo 6
Multiplicamos por
e voltamos à variável original
usando
:
Multiplicando:
Multiplicando:
Agora substituir
e reescrever
e
:
Logo a primitiva é
Passo 7
Simplificando o primeiro termo
, obtemos a expressão final da primitiva. Se quiser conferir rapidamente, derive essa expressão e você encontrará
(pela regra da cadeia e pelas identidades trigonométricas que usamos).