( 2,0 pontos) Derive:
y=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{2}.
Informações relevantes: a função envolve radicais (raiz quadrada e raiz cúbica) e está implicitamente definida para x>0 (para evitar problemas com as raízes reais). A tarefa é calcular y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever as raízes como potências, porque isso facilita os cálculos algébricos e a aplicação das regras de derivação:
\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \sqrt[3]{x}=x^{1/3}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-1/3}.
Substituindo na expressão de y obtemos
y=\left(x^{1/2}+x^{-1/3}\right)^{2}.

Passo 3

Vamos expandir o quadrado da soma usando a identidade clássica (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=x^{1/2} e b=x^{-1/3}. Aplicando a identidade:
y=\left(x^{1/2}\right)^{2}+2\left(x^{1/2}\right)\left(x^{-1/3}\right)+\left(x^{-1/3}\right)^{2}.

Passo 4

Calculemos cada termo separadamente, cuidando bem dos expoentes:
\left(x^{1/2}\right)^{2}=x^{1/2\cdot 2}=x^{1}.
Para o termo do meio, usamos a regra dos expoentes na multiplicação x^{\alpha}x^{\beta}=x^{\alpha+\beta}:
2\left(x^{1/2}\right)\left(x^{-1/3}\right)=2x^{1/2+(-1/3)}.
Agora somamos os expoentes com denominador comum 6:
\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6},
logo o termo do meio vira 2x^{1/6}.
Por fim,
\left(x^{-1/3}\right)^{2}=x^{-2/3}.

Passo 5

Juntando os três termos, a expressão simplificada de y é
y=x+2x^{1/6}+x^{-2/3}.

Passo 6

Agora vamos diferenciar termo a termo. Vou lembrar duas regras que usamos:
  1. Linearidade da derivada: \dfrac{d}{dx}[u(x)+v(x)]=u'(x)+v'(x) e constante fator: \dfrac{d}{dx}[c\cdot u(x)]=c\cdot u'(x).
  2. Regra da potência (power rule): para qualquer real n,
\frac{d}{dx}\left[x^{n}\right]=n x^{n-1}.
Aqui n é um número real (por exemplo n=1/6 ou n=-2/3). Um exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}[x^{3}]=3x^{2}.

Passo 7

Aplique a regra da potência a cada termo de y=x+2x^{1/6}+x^{-2/3}.
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\left[x\right]=1.

Passo 8

Derivada do segundo termo 2x^{1/6}:
use \dfrac{d}{dx}[c x^{n}]=c n x^{n-1}. Então
\frac{d}{dx}\left[2x^{1/6}\right]=2\cdot\frac{1}{6}\,x^{1/6-1}=\frac{1}{3}x^{-5/6},
pois 2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3} e 1/6-1=-5/6.

Passo 9

Derivada do terceiro termo x^{-2/3}:
\frac{d}{dx}\left[x^{-2/3}\right]=-\frac{2}{3}\,x^{-2/3-1}=-\frac{2}{3}x^{-5/3},
pois -\tfrac{2}{3}-1=-\tfrac{5}{3}.

Passo 10

Somando as três derivadas (pela linearidade) obtemos a derivada final:
y'=1+\frac{1}{3}x^{-5/6}-\frac{2}{3}x^{-5/3}.
Se preferir em forma com radicais, note que x^{-5/6}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}} e x^{-5/3}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}}, então também podemos escrever
y'=1+\frac{1}{3\sqrt[6]{x^{5}}}-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^{5}}}.

Resposta

y'=1+\dfrac{1}{3}x^{-5/6}-\dfrac{2}{3}x^{-5/3}

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