( 2,0 pontos) Derive:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes: a função envolve radicais (raiz quadrada e raiz cúbica) e está implicitamente definida para
(para evitar problemas com as raízes reais). A tarefa é calcular
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever as raízes como potências, porque isso facilita os cálculos algébricos e a aplicação das regras de derivação:
Substituindo na expressão de
obtemos
Passo 3
Vamos expandir o quadrado da soma usando a identidade clássica
. Aqui
e
. Aplicando a identidade:
Passo 4
Calculemos cada termo separadamente, cuidando bem dos expoentes:
Para o termo do meio, usamos a regra dos expoentes na multiplicação
:
Agora somamos os expoentes com denominador comum
:
logo o termo do meio vira
.
Por fim,
Por fim,
Passo 5
Juntando os três termos, a expressão simplificada de
é
Passo 6
Agora vamos diferenciar termo a termo. Vou lembrar duas regras que usamos:
- Linearidade da derivada:
e constante fator: . - Regra da potência (power rule): para qualquer real
,
Aqui
é um número real (por exemplo
ou
). Um exemplo rápido:
.
Passo 7
Aplique a regra da potência a cada termo de
.
Derivada do primeiro termo:
Passo 8
Derivada do segundo termo
:
use . Então
use
pois
e
.
Passo 9
Derivada do terceiro termo
:
pois
.
Passo 10
Somando as três derivadas (pela linearidade) obtemos a derivada final:
Se preferir em forma com radicais, note que
e
, então também podemos escrever