Encontre a Integral Indefinida
\int \operatorname{sen}^{2} 2 \mathrm{x} \cos ^{2} 2 \mathrm{xdx}=

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}2x\;\cos^{2}2x\;dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}^{2}2x\cdot\cos^{2}2x.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão em função de x mais uma constante de integração C.

Passo 2

Primeira ideia: simplificar a expressão usando identidades trigonométricas. Observamos que o produto de quadrados pode ser escrito como quadrado do produto:
\operatorname{sen}^{2}2x\;\cos^{2}2x = \big(\operatorname{sen}2x\cdot\cos2x\big)^{2}.
Isso reduz o problema a manipular \operatorname{sen}2x\cdot\cos2x.

Passo 3

Usamos a identidade de ângulo duplo para seno: para qualquer \theta,
\operatorname{sen}2\theta = 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta.
Reescrevendo, temos
\operatorname{sen}\theta\cos\theta = \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}2\theta.
Aplicando com \theta=2x, obtemos
\operatorname{sen}2x\cos2x = \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}4x.

Passo 4

Substituímos essa expressão na quadratura do Passo 2:
\big(\operatorname{sen}2x\cos2x\big)^{2} = \left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}4x\right)^{2} = \tfrac{1}{4}\operatorname{sen}^{2}4x.
Logo a integral vira
\int \operatorname{sen}^{2}2x\;\cos^{2}2x\;dx = \int \tfrac{1}{4}\operatorname{sen}^{2}4x\;dx.

Passo 5

Para integrar \operatorname{sen}^{2}4x usamos a fórmula de redução de potência (derivada da identidade \cos2u = 1-2\operatorname{sen}^{2}u):
\operatorname{sen}^{2}u = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos2u\big).
Aplicando com u=4x,
\operatorname{sen}^{2}4x = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos8x\big).
Substituindo na integral:
\int \tfrac{1}{4}\operatorname{sen}^{2}4x\;dx = \int \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\big(1-\cos8x\big)\;dx = \int \tfrac{1}{8}\big(1-\cos8x\big)\;dx.

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Para lembrar: a primitiva de \cos(kx) é \tfrac{1}{k}\sin(kx), porque \tfrac{d}{dx}\big(\tfrac{1}{k}\sin(kx)\big)=\cos(kx).
Assim,
\int \tfrac{1}{8}\;dx = \tfrac{1}{8}x,
\int -\tfrac{1}{8}\cos8x\;dx = -\tfrac{1}{8}\cdot \tfrac{1}{8}\sin8x = -\tfrac{1}{64}\sin8x.

Passo 7

Somando as primitivas dos termos obtemos a primitiva completa:
\int \operatorname{sen}^{2}2x\;\cos^{2}2x\;dx = \tfrac{x}{8} - \tfrac{1}{64}\sin8x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{8}-\frac{1}{64}\sin8x+C

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