Encontre a Integral Indefinida
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão em função de
mais uma constante de integração .
Passo 2
Primeira ideia: simplificar a expressão usando identidades trigonométricas. Observamos que o produto de quadrados pode ser escrito como quadrado do produto:
Isso reduz o problema a manipular
.
Passo 3
Usamos a identidade de ângulo duplo para seno: para qualquer
,
Reescrevendo, temos
Aplicando com
, obtemos
Passo 4
Substituímos essa expressão na quadratura do Passo 2:
Logo a integral vira
Passo 5
Para integrar
usamos a fórmula de redução de potência (derivada da identidade
):
Aplicando com
,
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Para lembrar: a primitiva de
é
, porque
.
Assim,
Assim,
Passo 7
Somando as primitivas dos termos obtemos a primitiva completa:
onde
é a constante de integração.