Esboce a região limitada pelas curvas e calcule:
(x=y^{2}) e (y=x-2)

Passo 1

O enunciado dá duas curvas: x=y^{2} e y=x-2. Pede que eu esboce a região limitada por elas e que eu calcule (presumo) a área dessa região.
Informações relevantes que temos:
  • A primeira curva é x=y^{2}.
  • A segunda curva é y=x-2.
  • Preciso encontrar onde elas se intersectam e a região fechada entre elas para depois calcular a área.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção. Como a segunda curva pode ser escrita como x=y+2 (isolar x em y=x-2 resulta em x=y+2), igualo as duas expressões de x:
y^{2} = y + 2.
Subtraindo tudo para um lado:
y^{2}-y-2=0.
Fatorando:
(y-2)(y+1)=0.
Logo as soluções são y=2 e y=-1. Agora obtenho os pontos em coordenadas (x,y) usando x=y^{2} (ou x=y+2, ambas coincidem nesses y):
  • Para y=2: x=2^{2}=4. Ponto (4,2).
  • Para y=-1: x=(-1)^{2}=1. Ponto (1,-1).

Passo 3

Precisamos decidir, para y entre -1 e 2, qual curva fornece a coordenada x à direita e qual à esquerda (isto é, qual tem maior x). Já escrevemos a reta como x=y+2 e a parábola como x=y^{2}. Vou comparar os dois para um valor intermediário, por exemplo y=0:
x_{\text{parábola}}=0^{2}=0,\qquad x_{\text{reta}}=0+2=2.á
Como 2>0, a reta está à direita da parábola em y=0. Para garantir isso no intervalo inteiro, noto que a diferença
x_{\text{reta}}-x_{\text{parábola}}=(y+2)-y^{2}=-(y^{2}-y-2)á
é não negativa entre as raízes y=-1 e y=2, porque y^{2}-y-2\le0 nesse intervalo. Portanto, para y\in[-1,2] vale
x_{\text{esquerda}}=y^{2},\qquad x_{\text{direita}}=y+2.

Passo 4

Explico a fórmula que vou usar. Quando temos duas curvas dadas como x=f(y) e x=g(y) e f(y)\le g(y) para y entre a e b, a área da região entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(g(y)-f(y)\bigr)\,dy.Á
Aqui g(y)=y+2, f(y)=y^{2}, e os limites são a=-1 e b=2. Vou integrar com respeito a y porque ambas as curvas estão naturalmente escritas como x=\text{função de }yçã, o que torna o cálculo direto e simples (economiza reescrever a parábola como y=\pm\sqrt{x}, que complicaria).

Passo 5

Montando o integral:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\bigl((y+2)-y^{2}\bigr)\,dy=\int_{-1}^{2}\bigl(y+2-y^{2}\bigr)\,dy.Á
Calculo a primitiva termo a termo. Uma primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^{2}. Uma primitiva de 2 é 2y. Uma primitiva de y^{2} é \tfrac{1}{3}y^{3}. Assim uma primitiva da função integranda é
F(y)=\tfrac{1}{2}y^{2}+2y-\tfrac{1}{3}y^{3}.
Agora avalio nos limites y=-1 e y=2:
F(2)=\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\cdot 2-\tfrac{1}{3}\cdot 2^{3}=\tfrac{1}{2}\cdot 4+4-\tfrac{1}{3}\cdot 8=2+4-\tfrac{8}{3}=6-\tfrac{8}{3}=\tfrac{10}{3}.
F(-1)=\tfrac{1}{2}\cdot (-1)^{2}+2\cdot(-1)-\tfrac{1}{3}\cdot(-1)^{3}=\tfrac{1}{2}-2+\tfrac{1}{3}=\tfrac{3-12+2}{6}=-\tfrac{7}{6}.
Subtraindo:
\text{Área}=F(2)-F(-1)=\tfrac{10}{3}-\bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr)=\tfrac{10}{3}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{20+7}{6}=\tfrac{27}{6}=\tfrac{9}{2}.Á

Passo 6

Descrição do esboço (para você desenhar na prova): a parábola x=y^{2} abre para a direita com vértice em (0,0). A reta y=x-2 tem inclinação 1 e intercepto vertical em (0,-2); reescrita como x=y+2 é uma linha com intercepto em x=2 quando y=0. Elas se cruzam em (1,-1) e (4,2). A região limitada é a “faixa” entre essas curvas para y de -1 a 2, com a reta à direita e a parábola à esquerda. Esboce a parábola e a reta, marque os pontos (1,-1) e (4,2) e sombreie a região entre elas.

Resposta

Área =\tfrac{9}{2}.

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