Esboce a região limitada pelas curvas e calcule:
(x=y^{2}) e (y=x-2)
(x=y^{2}) e (y=x-2)
Passo 1
O enunciado dá duas curvas:
e
. Pede que eu esboce a região limitada por elas e que eu calcule (presumo) a área dessa região.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A primeira curva é
. - A segunda curva é
. - Preciso encontrar onde elas se intersectam e a região fechada entre elas para depois calcular a área.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção. Como a segunda curva pode ser escrita como
(isolar
em
resulta em
), igualo as duas expressões de
:
Subtraindo tudo para um lado:
Fatorando:
Logo as soluções são
e
. Agora obtenho os pontos em coordenadas
usando
(ou
, ambas coincidem nesses
):
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Passo 3
Precisamos decidir, para
entre
e
, qual curva fornece a coordenada
à direita e qual à esquerda (isto é, qual tem maior
). Já escrevemos a reta como
e a parábola como
. Vou comparar os dois para um valor intermediário, por exemplo
:
Como
, a reta está à direita da parábola em
. Para garantir isso no intervalo inteiro, noto que a diferença
é não negativa entre as raízes
e
, porque
nesse intervalo. Portanto, para
vale
Passo 4
Explico a fórmula que vou usar. Quando temos duas curvas dadas como
e
e
para
entre
e
, a área da região entre elas é
Aqui
,
, e os limites são
e
. Vou integrar com respeito a
porque ambas as curvas estão naturalmente escritas como
, o que torna o cálculo direto e simples (economiza reescrever a parábola como
, que complicaria).
Passo 5
Montando o integral:
Calculo a primitiva termo a termo. Uma primitiva de
é
. Uma primitiva de
é
. Uma primitiva de
é
. Assim uma primitiva da função integranda é
Agora avalio nos limites
e
:
Subtraindo:
Passo 6
Descrição do esboço (para você desenhar na prova): a parábola
abre para a direita com vértice em
. A reta
tem inclinação
e intercepto vertical em
; reescrita como
é uma linha com intercepto em
quando
. Elas se cruzam em
e
. A região limitada é a “faixa” entre essas curvas para
de
a
, com a reta à direita e a parábola à esquerda. Esboce a parábola e a reta, marque os pontos
e
e sombreie a região entre elas.
Resposta
Área
.