Encontre a Integral Indefinida
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
; a variável de integração é
; espera-se a primitiva (integração indefinida), então o resultado virá com constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica útil para potências de cosseno. Da fórmula do cosseno do dobro do ângulo temos
Isolando
obtemos a identidade do fatoragem (identidade de redução):
Aqui
é uma variável qualquer (pode ser um ângulo ou uma expressão que depende de
). Essa fórmula é muito prática porque transforma
numa soma de termos mais fáceis de integrar.
Passo 3
Aplique a identidade com
. Temos
já que
.
Passo 4
Substituindo na integral e usando linearidade da integral (a integral de soma é soma das integrais e constantes podem sair da integral):
Expliquei: a constante
foi colocada em fator fora das integrais.
Passo 5
Integre o primeiro termo. Como
, segue
Aqui usamos a regra que a integral de uma constante
é
(mais a constante de integração).
Passo 6
Agora o segundo termo. Usamos a regra geral
porque a derivada de
é
. No nosso caso
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral,
Passo 7
Juntando os dois termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva completa: