Encontre a Integral Indefinida
\int \cos ^{2} 6 \mathrm{x} \mathrm{dx}=

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \cos^{2}6x\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \cos^{2}6x; a variável de integração é x; espera-se a primitiva (integração indefinida), então o resultado virá com constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica útil para potências de cosseno. Da fórmula do cosseno do dobro do ângulo temos
\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1.
Isolando \cos^{2}\theta obtemos a identidade do fatoragem (identidade de redução):
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aqui \theta é uma variável qualquer (pode ser um ângulo ou uma expressão que depende de x). Essa fórmula é muito prática porque transforma \cos^{2} numa soma de termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Aplique a identidade com \theta=6x. Temos
\cos^{2}6x=\frac{1+\cos(12x)}{2},
já que 2\theta=2\cdot(6x)=12x.

Passo 4

Substituindo na integral e usando linearidade da integral (a integral de soma é soma das integrais e constantes podem sair da integral):
\int \cos^{2}6x\,dx=\int \frac{1+\cos(12x)}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int \cos(12x)\,dx.
Expliquei: a constante \tfrac{1}{2} foi colocada em fator fora das integrais.

Passo 5

Integre o primeiro termo. Como \int 1\,dx = x, segue
\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{1}{2}x.
Aqui usamos a regra que a integral de uma constante k é kx (mais a constante de integração).

Passo 6

Agora o segundo termo. Usamos a regra geral
\int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C,
porque a derivada de \sin(ax) é a\cos(ax). No nosso caso a=12, então
\int \cos(12x)\,dx=\frac{1}{12}\sin(12x).
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral,
\frac{1}{2}\int \cos(12x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}\sin(12x)=\frac{1}{24}\sin(12x).

Passo 7

Juntando os dois termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva completa:
\int \cos^{2}6x\,dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{24}\sin(12x)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{24}\sin(12x)+C

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