Encontre a Integral Indefinida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
e a variável de integração é
. O resultado esperado é uma primitiva (antiderivada) mais uma constante arbitrária
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que reduz a potência de seno: para todo
,
Explicando por que isso vale: a identidade dupla para cosseno é
. Isolando
obtemos exatamente a forma acima. Essa fórmula é muito útil porque transforma uma função quadrática em seno numa soma de termos mais fáceis de integrar.
Passo 3
Aplicamos a identidade com
. Assim
Passo 4
Substituímos na integral:
Aqui usei a linearidade da integral:
.
Passo 5
Separei em duas integrais:
A primeira é trivial:
Passo 6
Para a segunda, lembramos a regra básica de integração reversa da regra da cadeia: se
, então
é
, porque
. Portanto
Passo 7
Voltando e juntando os termos:
onde
é a constante de integração.