Encontre a Integral Indefinida
\int \operatorname{sen}^{2} 4 \mathrm{x} \mathrm{dx}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}4\mathrm{x}\,\mathrm{dx}.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sen}^{2}4\mathrm{x} e a variável de integração é \mathrm{x}. O resultado esperado é uma primitiva (antiderivada) mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que reduz a potência de seno: para todo t,
\operatorname{sen}^{2}t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Explicando por que isso vale: a identidade dupla para cosseno é \cos(2t)=1-2\operatorname{sen}^{2}t. Isolando \operatorname{sen}^{2}t obtemos exatamente a forma acima. Essa fórmula é muito útil porque transforma uma função quadrática em seno numa soma de termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicamos a identidade com t=4\mathrm{x}. Assim
\operatorname{sen}^{2}4\mathrm{x}=\frac{1-\cos(8\mathrm{x})}{2}.

Passo 4

Substituímos na integral:
\int \operatorname{sen}^{2}4\mathrm{x}\,\mathrm{dx}=\int \frac{1-\cos(8\mathrm{x})}{2}\,\mathrm{dx} =\frac{1}{2}\int \bigl(1-\cos(8\mathrm{x})\bigr)\,\mathrm{dx}.
Aqui usei a linearidade da integral: \int (a f + b g)=a\int f + b\int g.

Passo 5

Separei em duas integrais:
\frac{1}{2}\int 1\,\mathrm{dx}-\frac{1}{2}\int \cos(8\mathrm{x})\,\mathrm{dx}.
A primeira é trivial:
\int 1\,\mathrm{dx}=\mathrm{x}.

Passo 6

Para a segunda, lembramos a regra básica de integração reversa da regra da cadeia: se F'(\mathrm{x})=\cos(8\mathrm{x}), então F(\mathrm{x}) é \frac{1}{8}\operatorname{sen}(8\mathrm{x}), porque \frac{d}{d\mathrm{x}}\bigl(\operatorname{sen}(8\mathrm{x})\bigr)=8\cos(8\mathrm{x}). Portanto
\int \cos(8\mathrm{x})\,\mathrm{dx}=\frac{1}{8}\operatorname{sen}(8\mathrm{x}).

Passo 7

Voltando e juntando os termos:
\frac{1}{2}\cdot \mathrm{x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}\operatorname{sen}(8\mathrm{x}) + C =\frac{\mathrm{x}}{2}-\frac{1}{16}\operatorname{sen}(8\mathrm{x})+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2}-\frac{1}{16}\operatorname{sen}(8\mathrm{x})+C

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