Encontre a Integral Indefinida
\int \operatorname{sen}^{7} y d y=

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{7} y \, dy.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sen}^{7}y (potência ímpar de seno), a variável de integração é y e o resultado deve ser uma primitiva mais uma constante de integração C. Não se inicia a resolução neste passo, apenas identificamos o que foi pedido.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): quando temos uma potência ímpar de \operatorname{sen}y é conveniente separar um fator \operatorname{sen}y para usar a substituição u=\cos y. Para isso usamos a identidade trigonométrica básica
\operatorname{sen}^2 y = 1-\cos^2 y,
que permite reescrever potências pares de \operatorname{sen}y em função de \cos y. Também precisamos da relação diferencial da substituição:
u=\cos y \quad\Rightarrow\quad du=-\sin y\,dy,
ou seja \sin y\,dy = -du. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Separe um \operatorname{sen}y da potência ímpar e transforme o resto usando \operatorname{sen}^2 y = 1-\cos^2 y:
\operatorname{sen}^{7}y = \operatorname{sen}^{6}y\cdot\operatorname{sen}y = (\operatorname{sen}^2 y)^3\cdot\operatorname{sen}y = (1-\cos^2 y)^3\cdot\operatorname{sen}y.

Passo 4

Substitua na integral e use u=\cos y com \sin y\,dy=-du:
\int \operatorname{sen}^{7}y \, dy = \int (1-\cos^2 y)^3\cdot\sin y\,dy = \int (1-u^2)^3\cdot(-du) = -\int (1-u^2)^3 \, du.

Passo 5

Expanda o polinômio (1-u^2)^3 usando o binômio de Newton (coeficientes 1,-3,3,-1):
(1-u^2)^3 = 1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6.

Passo 6

Integre termo a termo:
-\int (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6)\,du = -\Bigl(\int 1\,du - 3\int u^2\,du + 3\int u^4\,du - \int u^6\,du\Bigr).
Calcule cada integral:
\int 1\,du = u,\qquad \int u^2\,du = \frac{u^3}{3},\qquad \int u^4\,du = \frac{u^5}{5},\qquad \int u^6\,du = \frac{u^7}{7}.
Substituindo:
-\Bigl(u - 3\cdot\frac{u^3}{3} + 3\cdot\frac{u^5}{5} - \frac{u^7}{7}\Bigr) = -\Bigl(u - u^3 + \frac{3}{5}u^5 - \frac{1}{7}u^7\Bigr).

Passo 7

Distribua o sinal negativo:
- u + u^3 - \frac{3}{5}u^5 + \frac{1}{7}u^7 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Volte à variável y usando u=\cos y:
- \cos y + \cos^3 y - \frac{3}{5}\cos^5 y + \frac{1}{7}\cos^7 y + C.

Passo 9

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando o resultado obtido usando a regra da cadeia obtemos
\frac{d}{dy}\Bigl(- \cos y + \cos^3 y - \frac{3}{5}\cos^5 y + \frac{1}{7}\cos^7 y\Bigr) = \sin y\,(1-3\cos^2 y+3\cos^4 y-\cos^6 y) = \sin y\,(1-\cos^2 y)^3 = \sin y\cdot(\sin^2 y)^3 = \sin^7 y,
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

- \cos y + \cos^3 y - \dfrac{3}{5}\cos^5 y + \dfrac{1}{7}\cos^7 y + C

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