Encontre a Integral Indefinida
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
(potência ímpar de seno), a variável de integração é
e o resultado deve ser uma primitiva mais uma constante de integração
. Não se inicia a resolução neste passo, apenas identificamos o que foi pedido.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): quando temos uma potência ímpar de
é conveniente separar um fator
para usar a substituição
. Para isso usamos a identidade trigonométrica básica
que permite reescrever potências pares de
em função de
. Também precisamos da relação diferencial da substituição:
ou seja
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Separe um
da potência ímpar e transforme o resto usando
:
Passo 4
Substitua na integral e use
com
:
Passo 5
Expanda o polinômio
usando o binômio de Newton (coeficientes
):
Passo 6
Integre termo a termo:
Calcule cada integral:
Substituindo:
Passo 7
Distribua o sinal negativo:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Volte à variável
usando
:
Passo 9
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando o resultado obtido usando a regra da cadeia obtemos
confirmando que a primitiva está correta.