Encontre a Integral Indefinida
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
, ou seja, a potência ímpar
da função
avaliada em
. A tarefa é encontrar uma primitiva (a integral indefinida) dessa expressão, incluindo a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: quando a potência de
é ímpar, uma técnica padrão e eficiente é separar um fator
e escrever o restante em termos de
usando a identidade
. Isso permite fazer a substituição
que transforma a integral em um polinômio em
. Vou seguir esse método porque é direto e evita fórmulas mais complicadas.
Passo 3
Isolando um fator
e usando a identidade:
Usando
com
, obtemos
Portanto a integral fica
Passo 4
Fazendo a substituição conveniente. Tome
Calcule
usando a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Assim
ou seja
Essa igualdade permite substituir
por
na integral.
Passo 5
Substituindo na integral:
Fatorando a constante,
Passo 6
Expanda o polinômio
:
Então a integral torna-se
Calcule cada primitiva básica:
Substituindo:
Passo 7
Multiplique o fator
e simplifique os coeficientes:
onde
é a constante de integração. Agora volte à variável original usando
:
Passo 8
Pequena verificação conceitual (útil na prova): ao derivar termo a termo usando a regra da cadeia, cada termo produz um fator
multiplicado por polinômios em
; a combinação dessas contribuições volta a formar exatamente
. Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.