Encontre a Integral Indefinida
\int \operatorname{sen}^{5} 3 \theta d \theta=

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{5}(3\theta)\,d\theta.
Informações dadas: a função integranda é \operatorname{sen}^{5}(3\theta), ou seja, a potência ímpar 5 da função \operatorname{sen} avaliada em 3\theta. A tarefa é encontrar uma primitiva (a integral indefinida) dessa expressão, incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: quando a potência de \operatorname{sen} é ímpar, uma técnica padrão e eficiente é separar um fator \operatorname{sen}(3\theta) e escrever o restante em termos de \operatorname{cos}(3\theta) usando a identidade \operatorname{sen}^2 x = 1-\operatorname{cos}^2 x. Isso permite fazer a substituição u=\operatorname{cos}(3\theta) que transforma a integral em um polinômio em u. Vou seguir esse método porque é direto e evita fórmulas mais complicadas.

Passo 3

Isolando um fator \operatorname{sen}(3\theta) e usando a identidade:
\operatorname{sen}^{5}(3\theta) = \operatorname{sen}^{4}(3\theta)\,\operatorname{sen}(3\theta) = \big(\operatorname{sen}^{2}(3\theta)\big)^{2}\operatorname{sen}(3\theta).
Usando \operatorname{sen}^{2}x = 1-\operatorname{cos}^{2}x com x=3\theta, obtemos
\big(\operatorname{sen}^{2}(3\theta)\big)^{2} = \big(1-\operatorname{cos}^{2}(3\theta)\big)^{2}.
Portanto a integral fica
\int \operatorname{sen}^{5}(3\theta)\,d\theta = \int \big(1-\operatorname{cos}^{2}(3\theta)\big)^{2}\operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta.

Passo 4

Fazendo a substituição conveniente. Tome
u=\operatorname{cos}(3\theta).
Calcule du usando a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{cos}(3\theta) em relação a \theta é -3\operatorname{sen}(3\theta). Assim
du = -3\operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta,
ou seja
\operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta = -\frac{1}{3}\,du.
Essa igualdade permite substituir \operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta por -\tfrac{1}{3}du na integral.

Passo 5

Substituindo na integral:
\int \big(1-\operatorname{cos}^{2}(3\theta)\big)^{2}\operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta = \int \big(1-u^{2}\big)^{2}\left(-\frac{1}{3}\,du\right).
Fatorando a constante,
= -\frac{1}{3}\int \big(1-u^{2}\big)^{2} du.

Passo 6

Expanda o polinômio \big(1-u^{2}\big)^{2}:
\big(1-u^{2}\big)^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4}.
Então a integral torna-se
-\frac{1}{3}\int \big(1 - 2u^{2} + u^{4}\big)\,du = -\frac{1}{3}\left(\int 1\,du - 2\int u^{2}\,du + \int u^{4}\,du\right).
Calcule cada primitiva básica:
\int 1\,du = u,\qquad \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3},\qquad \int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}.
Substituindo:
-\frac{1}{3}\left(u - 2\cdot\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5}\right).

Passo 7

Multiplique o fator -\tfrac{1}{3} e simplifique os coeficientes:
-\frac{1}{3}u + \frac{2}{9}u^{3} - \frac{1}{15}u^{5} + C,
onde C é a constante de integração. Agora volte à variável original usando u=\operatorname{cos}(3\theta):
-\frac{1}{3}\operatorname{cos}(3\theta) + \frac{2}{9}\operatorname{cos}^{3}(3\theta) - \frac{1}{15}\operatorname{cos}^{5}(3\theta) + C.

Passo 8

Pequena verificação conceitual (útil na prova): ao derivar termo a termo usando a regra da cadeia, cada termo produz um fator \operatorname{sen}(3\theta) multiplicado por polinômios em \operatorname{cos}(3\theta); a combinação dessas contribuições volta a formar exatamente \operatorname{sen}^{5}(3\theta). Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{3}\operatorname{cos}(3\theta)+\dfrac{2}{9}\operatorname{cos}^{3}(3\theta)-\dfrac{1}{15}\operatorname{cos}^{5}(3\theta)+C

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