Encontre a Integral Indefinida
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é o produto de potências pares de seno e cosseno com argumento
: e . - É uma integral indefinida (ou seja, deve aparecer uma constante de integração
no final). - Não há nenhuma outra restrição (domínio, condições iniciais etc.).
Passo 2
Observação sobre a estrutura (só observação, sem resolver ainda): como as potências de seno e cosseno são pares (potência
e
), uma técnica padrão é usar identidades de redução de potência para transformar o produto em soma de funções trigonométricas simples (cosenos com argumentos múltiplos). Vou seguir esse caminho porque transforma a integral num somatório de integrais de cossenos, que são fáceis de integrar. Agora vamos aplicar as identidades.
Passo 3
Recordando identidades de redução de potência (estas são fundamentais):
Aqui
será igual a
. Vou primeiro escrever
como
e então usar as identidades.
Passo 4
Aplicando as identidades:
portanto
E para
:
Passo 5
Agora multiplico
por
:
Para simplificar ainda mais, vou reduzir
e
usando fórmulas conhecidas.
Passo 6
Redução de
e
:
Para
usamos a identidade que vem da fórmula do cosseno do triplo ângulo:
que rearranjada dá
Aplicando com
,
Passo 7
Substituindo
e
na expressão do passo 5:
Agora vou simplificar essa combinação passo a passo.
Passo 8
Simplificando termos constantes e coeficientes de cossenos:
Calcule internamente a soma:
Calcule internamente a soma:
Separe constantes e coeficientes:
- Termos constantes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Portanto a expressão dentro do parênteses é
Passo 9
Multiplicando pelo fator
que estava na frente:
Agora a integral original fica a soma de quatro integrais simples.
Passo 10
Integramos termo a termo:
Integrações básicas usadas:
e
.
Passo 11
Calcule cada termo:
Passo 12
Somando todos os termos e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva desejada: