Encontre a Integral Indefinida
\int \operatorname{sen}^{4} 3 \mathrm{x} \cos ^{2} 3 \mathrm{xdx}=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{4}(3x)\,\cos^{2}(3x)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é o produto de potências pares de seno e cosseno com argumento 3x: \operatorname{sen}^{4}(3x) e \cos^{2}(3x).
  • É uma integral indefinida (ou seja, deve aparecer uma constante de integração C no final).
  • Não há nenhuma outra restrição (domínio, condições iniciais etc.).

Passo 2

Observação sobre a estrutura (só observação, sem resolver ainda): como as potências de seno e cosseno são pares (potência 4 e 2), uma técnica padrão é usar identidades de redução de potência para transformar o produto em soma de funções trigonométricas simples (cosenos com argumentos múltiplos). Vou seguir esse caminho porque transforma a integral num somatório de integrais de cossenos, que são fáceis de integrar. Agora vamos aplicar as identidades.

Passo 3

Recordando identidades de redução de potência (estas são fundamentais):
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2},\qquad \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aqui \theta será igual a 3x. Vou primeiro escrever \operatorname{sen}^{4}(3x) como \big(\sin^{2}(3x)\big)^{2} e então usar as identidades.

Passo 4

Aplicando as identidades:
\sin^{2}(3x)=\frac{1-\cos(6x)}{2},
portanto
\sin^{4}(3x)=\big(\sin^{2}(3x)\big)^{2}=\left(\frac{1-\cos(6x)}{2}\right)^{2} =\frac{1-2\cos(6x)+\cos^{2}(6x)}{4}.
E para \cos^{2}(3x):
\cos^{2}(3x)=\frac{1+\cos(6x)}{2}.

Passo 5

Agora multiplico \sin^{4}(3x) por \cos^{2}(3x):
\sin^{4}(3x)\cos^{2}(3x) = \frac{1-2\cos(6x)+\cos^{2}(6x)}{4}\cdot\frac{1+\cos(6x)}{2} =\frac{1}{8}\big(1-\cos(6x)-\cos^{2}(6x)+\cos^{3}(6x)\big).
Para simplificar ainda mais, vou reduzir \cos^{2}(6x) e \cos^{3}(6x) usando fórmulas conhecidas.

Passo 6

Redução de \cos^{2} e \cos^{3}:
\cos^{2}(6x)=\frac{1+\cos(12x)}{2}.
Para \cos^{3} usamos a identidade que vem da fórmula do cosseno do triplo ângulo:
\cos(3\theta)=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta
que rearranjada dá
\cos^{3}\theta=\frac{\cos(3\theta)+3\cos\theta}{4}.
Aplicando com \theta=6x,
\cos^{3}(6x)=\frac{\cos(18x)+3\cos(6x)}{4}.

Passo 7

Substituindo \cos^{2}(6x) e \cos^{3}(6x) na expressão do passo 5:
\begin{aligned} \sin^{4}(3x)\cos^{2}(3x) &=\frac{1}{8}\Big(1-\cos(6x)-\frac{1+\cos(12x)}{2}+\frac{\cos(18x)+3\cos(6x)}{4}\Big). \end{aligned}
Agora vou simplificar essa combinação passo a passo.

Passo 8

Simplificando termos constantes e coeficientes de cossenos:
Calcule internamente a soma:
1-\cos(6x)-\frac{1+\cos(12x)}{2}+\frac{\cos(18x)+3\cos(6x)}{4}.
Separe constantes e coeficientes:
  • Termos constantes: 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Coeficiente de \cos(6x): -1+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}.
  • Coeficiente de \cos(12x): -\frac{1}{2}.
  • Coeficiente de \cos(18x): \frac{1}{4}.
Portanto a expressão dentro do parênteses é
\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cos(6x)-\frac{1}{2}\cos(12x)+\frac{1}{4}\cos(18x).

Passo 9

Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{8} que estava na frente:
\sin^{4}(3x)\cos^{2}(3x) = \frac{1}{16}-\frac{1}{32}\cos(6x)-\frac{1}{16}\cos(12x)+\frac{1}{32}\cos(18x).
Agora a integral original fica a soma de quatro integrais simples.

Passo 10

Integramos termo a termo:
\int \sin^{4}(3x)\cos^{2}(3x)\,dx = \int\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{32}\cos(6x)-\frac{1}{16}\cos(12x)+\frac{1}{32}\cos(18x)\right)dx.
Integrações básicas usadas: \int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax) e \int dx = x.

Passo 11

Calcule cada termo:
\int \frac{1}{16}\,dx=\frac{x}{16},
\int -\frac{1}{32}\cos(6x)\,dx=-\frac{1}{32}\cdot\frac{\sin(6x)}{6}=-\frac{1}{192}\sin(6x),
\int -\frac{1}{16}\cos(12x)\,dx=-\frac{1}{16}\cdot\frac{\sin(12x)}{12}=-\frac{1}{192}\sin(12x),
\int \frac{1}{32}\cos(18x)\,dx=\frac{1}{32}\cdot\frac{\sin(18x)}{18}=\frac{1}{576}\sin(18x).

Passo 12

Somando todos os termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva desejada:
\frac{x}{16}-\frac{1}{192}\sin(6x)-\frac{1}{192}\sin(12x)+\frac{1}{576}\sin(18x)+C.

Resposta

\frac{x}{16}-\frac{1}{192}\sin(6x)-\frac{1}{192}\sin(12x)+\frac{1}{576}\sin(18x)+C

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