Mostre que duas curvas de nível em níveis distintos de uma mesma função
não se interceptam.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que duas curvas de nível de uma mesma função f associadas a valores distintos não podem se interceptar. O conteúdo envolvido é a definição de curva de nível e a propriedade básica de uma função: cada ponto do domínio só pode ter uma única imagem.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista um ponto (x_0,y_0) que pertence simultaneamente às curvas de nível de valores distintos c_1 e c_2, com c_1 \neq c_2. Isso significa que temos as igualdades
e
Passo 3
Como no mesmo ponto (x_0,y_0) a função f não pode assumir dois valores diferentes, as igualdades acima são incompatíveis. Isso gera uma contradição à definição de função. Portanto, não pode existir ponto comum às duas curvas de nível.
Resposta
Não existe interseção entre curvas de nível de um mesmo função para valores distintos, pois isso exigiria que a função assumisse dois valores diferentes no mesmo ponto.