Encontre a integral:
\int \sqrt{t}\left(2 t^{3}+3 t^{2}-8\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{t}\left(2 t^{3}+3 t^{2}-8\right)\,dt.
Informações relevantes que temos: a variável de integração é t; aparece \sqrt{t} que podemos escrever como potência fracionária; e a integral é indefinida (ou seja, precisamos de uma primitiva + constante de integração).

Passo 2

Vamos primeiro reescrever \sqrt{t} como potência e multiplicar dentro do parêntese para simplificar a integral antes de integrar termo a termo. Sabendo que \sqrt{t}=t^{1/2}, temos
\sqrt{t}\left(2 t^{3}+3 t^{2}-8\right)=2 t^{7/2}+3 t^{5/2}-8 t^{1/2}.
Portanto a integral vira
\int \left(2 t^{7/2}+3 t^{5/2}-8 t^{1/2}\right)\,dt.

Passo 3

Explico a regra que vamos usar: a integral é linear (posso somar integrais e puxar constantes para fora), e o “power rule” (regra das potências) diz que, para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente da potência em t^n, e C é a constante de integração. Exemplo simples: \int t^{2}\,dt=\dfrac{t^{3}}{3}+C.

Passo 4

Aplicamos a regra termo a termo.
Para o primeiro termo:
\int 2 t^{7/2}\,dt =2\cdot\frac{t^{9/2}}{9/2} =2\cdot\frac{2}{9}t^{9/2} =\frac{4}{9}t^{9/2}.
Para o segundo termo:
\int 3 t^{5/2}\,dt =3\cdot\frac{t^{7/2}}{7/2} =3\cdot\frac{2}{7}t^{7/2} =\frac{6}{7}t^{7/2}.
Para o terceiro termo:
\int -8 t^{1/2}\,dt =-8\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2} =-8\cdot\frac{2}{3}t^{3/2} =-\frac{16}{3}t^{3/2}.

Passo 5

Somando as primitivas dos três termos e acrescentando a constante de integração, obtemos a primitiva geral:
\frac{4}{9}t^{9/2}+\frac{6}{7}t^{7/2}-\frac{16}{3}t^{3/2}+C.
Se preferir ver em termos de raiz quadrada, lembrando que t^{9/2}=t^{4}\sqrt{t}, t^{7/2}=t^{3}\sqrt{t} e t^{3/2}=t\sqrt{t}, a expressão é equivalente a
\frac{4}{9}t^{4}\sqrt{t}+\frac{6}{7}t^{3}\sqrt{t}-\frac{16}{3}t\sqrt{t}+C.

Resposta

\frac{4}{9}t^{9/2}+\frac{6}{7}t^{7/2}-\frac{16}{3}t^{3/2}+C

Exercícios relacionados