Encontre a integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo:
Informações dadas:
- A integranda é
. - Queremos uma primitiva (constante de integração
aparecendo ao final). - Não há limites de integração (é uma integral indefinida).
Passo 2
Observação sobre a forma da integranda (sem resolver ainda): dentro da raiz temos
e fora aparece um fator
. Isso sugere tentar uma mudança de variável do tipo
, porque a derivada dessa expressão pode aparecer multiplicando a função — lembre-se disso: se
e
, então integrais da forma
viram
. Aqui a expressão dentro da raiz é
, então proponho a substituição abaixo.
Passo 3
Fazemos a substituição proposta:
Agora calculamos
. Derivando ambos os lados em relação a
temos
Isolando
obtemos
Também reescrevemos a raiz em termos de
:
Agora substituímos tudo na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Colocando a constante fora da integral:
Passo 5
Agora usamos a regra de potência para integrar
. A regra diz: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pela constante
que estava fora:
Passo 6
Voltamos à variável original substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova para ganhar confiança): derivando a resposta obtemos
Calculando a constante:
. Logo a derivada é
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.