Encontre a integral:
\int x^{3} \sqrt{x^{4}+7} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo:
\int x^{3} \sqrt{x^{4}+7}\, dx
Informações dadas:
  • A integranda é x^{3}\sqrt{x^{4}+7}.
  • Queremos uma primitiva (constante de integração C aparecendo ao final).
  • Não há limites de integração (é uma integral indefinida).

Passo 2

Observação sobre a forma da integranda (sem resolver ainda): dentro da raiz temos x^{4}+7 e fora aparece um fator x^{3}. Isso sugere tentar uma mudança de variável do tipo u=\text{(expressão dentro da raiz)}ã, porque a derivada dessa expressão pode aparecer multiplicando a função — lembre-se disso: se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então integrais da forma f(g(x))g'(x)\,dx viram \int f(u)\,du. Aqui a expressão dentro da raiz é x^{4}+7, então proponho a substituição abaixo.

Passo 3

Fazemos a substituição proposta:
u = x^{4}+7.
Agora calculamos du. Derivando ambos os lados em relação a x temos
du = 4x^{3}\,dx.
Isolando x^{3}\,dx obtemos
x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Também reescrevemos a raiz em termos de u:
\sqrt{x^{4}+7} = \sqrt{u} = u^{1/2}.
Agora substituímos tudo na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int x^{3}\sqrt{x^{4}+7}\,dx = \int \left(u^{1/2}\right)\left(\frac{1}{4}\,du\right).
Colocando a constante fora da integral:
= \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Agora usamos a regra de potência para integrar u^{1/2}. A regra diz: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C.
Multiplicando pela constante \tfrac{1}{4} que estava fora:
\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{6}u^{3/2} + C.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo u = x^{4}+7:
\int x^{3}\sqrt{x^{4}+7}\,dx = \frac{1}{6}\left(x^{4}+7\right)^{3/2} + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova para ganhar confiança): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{6}\left(x^{4}+7\right)^{3/2}\right] = \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}\left(x^{4}+7\right)^{1/2}\cdot 4x^{3}.
Calculando a constante: \tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot 4 = 1. Logo a derivada é
x^{3}\left(x^{4}+7\right)^{1/2},
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\left(x^{4}+7\right)^{3/2}+C

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