Encontre a integral de linha da função
f(x, y)=2+x^2 y
sobre a curva C dada pelo hemisfério superior do círculo unitário r(t)=(cos (t), sin (t)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral de linha da função sobre a curva , que é o hemisfério superior do círculo unitário dado por .
Aqui, vamos usar Cálculo Integral, especificamente a parte que trata de integrais de linha. O que vamos precisar entender é como parametrizar a curva e como calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é o hemisfério superior do círculo unitário. O círculo unitário tem raio 1 e está centrado na origem. A parametrização com variando de a descreve exatamente essa parte superior do círculo.
Então, nosso intervalo para será de a .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função f(r(t)) = 2 + (cos(t))^2 cdot sin(t) em termos de f(t) = 2 + cos^2(t) sin(t) . Substituímos e na função pela parametrização:
Então, a função fica:

Passo 4

Precisamos calcular a derivada da parametrização r'(t) = ( ddt cos(t), ddt sin(t) ) = (-sin(t), cos(t)) em relação a | r'(t) | = raiz (-sin(t))^2 + (cos(t))^2 = raiz sin^2(t) + cos^2(t) = raiz1 = 1 :
Em seguida, calculamos o módulo dessa derivada, que é necessário para a integral de linha:

Passo 5

Agora, montamos a integral de linha usando a parametrização:
integralC f(x, y) , ds = integral0^pi f(t) | r'(t) | , dt
Substituindo integral0^pi ( 2 + cos^2(t) sin(t) ) cdot 1 , dt = integral0^pi ( 2 + cos^2(t) sin(t) ) dt e :

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi 2 , dt + integral0^pi cos^2(t) sin(t) , dt
Calculando a primeira integral:
integral0^pi 2 , dt = 2t |0^pi = 2pi - 0 = 2pi

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^pi cos^2(t) sin(t) , dt
Fazendo uma substituição simples:
  • Seja integral1^-1 u^2 (-du) = integral-1^1 u^2 du , então ou
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral fica:

Passo 8

Calculando a integral:
integral-1^1 u^2 du = u^33 |-1^1 = 1^33 - (-1)^33 = 13 - ( -13 ) = 23

Passo 9

Agora, somamos as duas partes da integral:
2pi + 23 = 2pi + 23

Resposta

A integral de linha da função sobre a curva é .

Exercícios relacionados