sobre a curva dada pelo hemisfério superior do círculo unitário .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral de linha da função sobre a curva , que é o hemisfério superior do círculo unitário dado por .
Aqui, vamos usar Cálculo Integral, especificamente a parte que trata de integrais de linha. O que vamos precisar entender é como parametrizar a curva e como calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é o hemisfério superior do círculo unitário. O círculo unitário tem raio 1 e está centrado na origem. A parametrização com variando de a descreve exatamente essa parte superior do círculo.
Então, nosso intervalo para será de a .
Passo 3
Agora, vamos expressar a função em termos de . Substituímos e na função pela parametrização:
Então, a função fica:
Passo 4
Precisamos calcular a derivada da parametrização em relação a :
Em seguida, calculamos o módulo dessa derivada, que é necessário para a integral de linha:
Passo 5
Agora, montamos a integral de linha usando a parametrização:
Substituindo e :
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Calculando a primeira integral:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^pi cos^2(t) sin(t) , dt
Fazendo uma substituição simples:
Seja integral1^-1 u^2 (-du) = integral-1^1 u^2 du , então ou