Seja f(x) uma função periódica, com período 2 T, definida como:
f(x)=ccc T-x, & para & 0 <= x <= T T+x, & para & -T <= x <= 0
Nessas condições, pede-se:
© Usando a resposta do item (b), calcule a série de Fourier de f(x);

Passo 1

Temos uma função periódica de período 2T definida por f(x)=T−x para 0≤x≤T e f(x)=T+x para −T≤x≤0. O objetivo é escrever f(x) como série de Fourier trigonométrica no intervalo fundamental [−T,T], usando definição de coeficientes a₀, aₙ e bₙ.

Passo 2

Note que f(−x)=T+(−x)=T−x=f(x) para x em [0,T], logo f é função par. Isso implica que todos os coeficientes bₙ=0 e só teremos termos em cosseno.

Passo 3

O coeficiente a₀ é dado por a0=1Tintegral-T^T f(x),dx. Como f é par, usamos integral-T^T f(x)dx=2integral0^T (T-x)dx. Calculando, integral0^T (T-x)dx=T^2/2, então a0=2TcdotT^22=T e o termo constante vale a0/2=T/2.

Passo 4

Para n≥1, o coeficiente aₙ é an=1Tintegral-T^T f(x)cosl(npi xTr)dx=2Tintegral0^T (T-x)cosl(npi xTr)dx

Passo 5

Fazendo integração por partes em integral0^T (T-x)cos(alpha x)dx com alpha=npi/T, obtém-se an=2Tn^2pi^2(1-(-1)^n). Assim, para n par dá zero e para n ímpar n=2k+1 dá a2k+1=4T/[(2k+1)^2pi^2].

Passo 6

Reunindo tudo, a série de Fourier fica: f(x)=T2+sumk=0^infty4T(2k+1)^2pi^2cosl((2k+1)pi xTr)

Resposta

f(x)=T2+sumk=0^infty4T(2k+1)^2pi^2cosl((2k+1)pi xTr)

Exercícios relacionados