Seja
uma função periódica, com período
, definida como:
Nessas condições, pede-se:
© Usando a resposta do item (b), calcule a série de Fourier de
;
© Usando a resposta do item (b), calcule a série de Fourier de
Passo 1
Temos uma função periódica de período 2T definida por f(x)=T−x para 0≤x≤T e f(x)=T+x para −T≤x≤0. O objetivo é escrever f(x) como série de Fourier trigonométrica no intervalo fundamental [−T,T], usando definição de coeficientes a₀, aₙ e bₙ.
Passo 2
Note que f(−x)=T+(−x)=T−x=f(x) para x em [0,T], logo f é função par. Isso implica que todos os coeficientes bₙ=0 e só teremos termos em cosseno.
Passo 3
O coeficiente a₀ é dado por
. Como f é par, usamos
. Calculando,
, então
e o termo constante vale
.
Passo 4
Para n≥1, o coeficiente aₙ é
Passo 5
Fazendo integração por partes em
com
, obtém-se
. Assim, para n par dá zero e para n ímpar n=2k+1 dá
.
Passo 6
Reunindo tudo, a série de Fourier fica: