Encontre integral0^5 f(x) d x se

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral integral0^5 f(x) , dx onde a função f(x) é definida de duas formas diferentes: f(x) = 2 para x < 3 e f(x) = x para x >= 3. Isso envolve cálculo de integrais de funções por partes, então vamos precisar entender como dividir a área sob a curva em partes mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os intervalos onde cada definição de f(x) se aplica. A função muda de comportamento no ponto x = 3. Então, vamos dividir o integral em duas partes:
  1. De 0 a 3, onde f(x) = 2.
  2. De 3 a 5, onde f(x) = x.

Passo 3

Agora, calculamos cada parte separadamente.
Para 0 <= x < 3:
integral0^3 2 , dx = 2 times (3 - 0) = 6
Aqui, estamos integrando uma constante, que é simplesmente a constante multiplicada pelo intervalo.
Para 3 <= x <= 5:
integral3^5 x , dx = [12x^2]3^5 = 12(5^2) - 12(3^2) = 12(25 - 9) = 12(16) = 8
Neste caso, usamos a fórmula de integração para x, que é 12x^2, e avaliamos de 3 a 5.

Passo 4

Agora, somamos os resultados das duas partes:
6 + 8 = 14

Resposta

O valor do integral integral0^5 f(x) , dx é 14.

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