Encontre um inteiro que deixa resto 4 na divisão por 5 e resto 7 na divisão por 13 .

Passo 1

O enunciado pede um inteiro x tal que
x \equiv 4 \pmod{5},
x \equiv 7 \pmod{13}.
O conteúdo é o Teorema Chinês dos Restos, que permite achar uma solução única módulo 5\cdot13=65.

Passo 2

Da primeira congruência temos que existe inteiro k tal que
x = 5k + 4.

Passo 3

Substituindo em x \equiv 7\pmod{13}, vem
5k + 4 \equiv 7 \pmod{13}
e portanto
5k \equiv 3 \pmod{13}.

Passo 4

Para resolver 5k\equiv3\pmod{13}, precisamos do inverso de 5 módulo 13. Como
5 \cdot 8 = 40 \equiv 1 \pmod{13},
temos 5^{-1}\equiv8\pmod{13}.

Passo 5

Multiplicando a congruência 5k\equiv3\pmod{13} por 8, obtemos
k \equiv 8\cdot3 = 24 \equiv 11 \pmod{13}.

Passo 6

Logo k = 11 + 13m para algum inteiro m. A menor solução para x é obtida com m=0:
x = 5\cdot11 + 4 = 55 + 4 = 59.

Resposta

Um inteiro que satisfaz as condições é 59. (De modo geral, x\equiv59\pmod{65}.)

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