Encontre o menor inteiro positivo que, dividido por 29 , deixa resto 5 , e dividido por 31 , dá resto 28.

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro positivo n\) que satisfaz o sistema de congruências \[\begin{cases} n \equiv 5 \pmod{29},\\\ n \equiv 28 \pmod{31}. \end{cases}
Como 29\] e \(31 são coprimos, podemos usar o Teorema Chinês dos Resíduos para encontrar a solução única módulo 29\cdot31=899.

Passo 2

Escrevemos n em função de um inteiro k a partir da primeira congruência:
n = 29k + 5.
Isso garante automaticamente n\equiv5\pmod{29}.

Passo 3

Substituímos n na segunda congruência:
29k + 5 \equiv 28 \pmod{31} \quad\Longrightarrow\quad 29k \equiv 28 - 5 \equiv 23 \pmod{31}.

Passo 4

Observamos que 29 \equiv -2\pmod{31}, então a congruência vira
-2k \equiv 23 \pmod{31} \quad\Longrightarrow\quad 2k \equiv -23 \equiv 8 \pmod{31}.
Agora precisamos do inverso de 2 módulo 31.

Passo 5

Como 2\cdot16=32\equiv1\pmod{31}, o inverso de 2 é 16. Multiplicando ambos os lados por 16,
k \equiv 8\cdot16 \equiv 128 \equiv 4 \pmod{31}.
Logo k = 4 + 31m para algum inteiro m.

Passo 6

Voltando a n = 29k + 5, temos
n = 29(4 + 31m) + 5 = 29\cdot4 + 5 + 899m = 121 + 899m.
O menor inteiro positivo obtém-se para m=0, dando n = 121.

Resposta

121

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