Encontre a interseção, havendo, das retas r e s dadas pelas seguintes equações:
(no espaço) r: x-32=y4=z-3, s: X=(0,1,0)+t cdot(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a interseção (se existir) entre duas retas no espaço. Esse é um problema de geometria analítica no espaço, onde vamos verificar se há um ponto comum às retas e, em caso afirmativo, determiná-lo.

Passo 2

Vamos escrever cada reta em forma paramétrica. Para a reta r, definimos um parâmetro lambda tal que
x-32 ;=;y4;=;z-3 ;=;lambda
Assim
x = 3 + 2lambda, y = 4lambda, z = 3 + lambda
Para a reta s, o parâmetro dado é t, com
(x,y,z) = (0,1,0) + t,(1,0,1),
isto é
x = t, y = 1, z = t

Passo 3

Um ponto está na interseção se existir (lambda,t) que torne iguais as três coordenadas de r e s. Logo, impomos
3 + 2lambda = t, 4lambda = 1, 3 + lambda = t

Passo 4

Da segunda equação vem
lambda = 14
Substituindo em 3+2lambda = t obtemos
t = 3 + 2cdot14 = 3 + 12 = 72
Já de 3+lambda = t teríamos
t = 3 + 14 = 134
Como tfrac72neqtfrac134, o sistema é inconsistente e não há valores de lambda e t que satisfaçam simultaneamente as três equações.

Passo 5

Concluímos que não existe ponto comum às retas r e s; elas são reversas (não paralelas e sem interseção).

Resposta

As retas r e s não se intersectam.

Exercícios relacionados