Considere um triângulo A B C de vértices A=(2,0,0), B=(1,-1,-1), C=(0,0,4). Determine:
a) a equação (em qualquer forma) da reta r que suporta B C.
b) a equação (em qualquer forma) da reta s que suporta a altura do triângulo relativa ao vértice A.
c) a interseção Q de r e s; e a medida da altura Q A.

Passo 1

Temos o triângulo cujos vértices são
A=(2,0,0), B=(1,-1,-1), C=(0,0,4)
Pedem:
a) a reta r que contém B e C.
b) a reta s que contém A e é perpendicular a BC (altura relativa a A).
c) o ponto Q=rcap s (pé da perpendicular) e o comprimento da altura QA.
Para isso usaremos vetores em R^3, equação paramétrica de reta, fórmula de projeção ortogonal e fórmula de distância.

Passo 2

Calcular a reta r que contém B e C.
O vetor diretor é
v=BC=C-B=(0-1,;0+1,;4+1)=(-1,1,5)
Logo uma forma paramétrica de r é
r:;(x,y,z)=(1,-1,-1)+t,(-1,1,5), tinR,
ou em forma simétrica
x-1-1=y+11=z+15

Passo 3

Determinar o pé da perpendicular Q de A sobre r.
Seja
BA=A-B=(2-1,;0+1,;0+1)=(1,1,1),
e v=(-1,1,5). A projeção de BA em v é
projvec v(BA) =BAcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =(-1)cdot1+1cdot1+5cdot1(-1)^2+1^2+5^2,(-1,1,5) =527,(-1,1,5)
Então
Q=B+projvec v(BA) =(1,-1,-1)+l(-tfrac527,tfrac527,tfrac2527r) =l(tfrac2227,-tfrac2227,-tfrac227r)

Passo 4

A reta s (altura) passa por A e por Q. Seu vetor diretor é AQ=Q-A. Calculando:
AQ =l(tfrac2227-2,,-tfrac2227-0,,-tfrac227-0r) =l(-tfrac3227,-tfrac2227,-tfrac227r) sim(16,11,1)
Uma forma paramétrica de s é
s:;(x,y,z)=(2,0,0)+u,(16,11,1), uinR

Passo 5

Calcular a altura QA=|A-Q|.
A-Q=l(2-tfrac2227,,0+tfrac2227,,0+tfrac227r) =l(tfrac3227,tfrac2227,tfrac227r),
QA=raizl(tfrac3227r)^2+l(tfrac2227r)^2+l(tfrac227r)^2 =127raiz32^2+22^2+2^2 =127raiz1512 =2raiz429

Resposta

a)
r:;(x,y,z)=(1,-1,-1)+t,(-1,1,5), tinR
b)
s:;(x,y,z)=(2,0,0)+u,(16,11,1), uinR
c)
Q=l(tfrac2227,-tfrac2227,-tfrac227r), QA=2raiz429

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