Encontre a interseção, havendo, das retas r e s dadas pelas seguintes equações:
(no espaço) r: X=(4,1,-1)+t1 cdot(-2,-2,1), s: X=(11,-10,45)+t2 cdot(1,-1,5)

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede o ponto de interseção, caso exista. O conteúdo envolve escrever as componentes x,y,z de cada reta e resolver um sistema de equações para os parâmetros t1 e t2.

Passo 2

Escrevemos as componentes de cada reta e igualamos:
Para r:
x = 4 - 2t1, y = 1 - 2t1, z = -1 + t1
Para s:
x = 11 + t2, y = -10 - t2, z = 45 + 5t2
Igualando coordenadas obtém-se o sistema
4 - 2t1 = 11 + t2,
1 - 2t1 = -10 - t2,
-1 + t1 = 45 + 5t2

Passo 3

Usamos as duas primeiras equações para encontrar t1 e t2. Da primeira,
t2 = 4 - 2t1 - 11 = -7 - 2t1
Substituindo na segunda,
1 - 2t1 = -10 -(-7 - 2t1) = -3 + 2t1 Longrightarrow 1 + 3 = 4t1 Longrightarrow t1 = 1
Então
t2 = -7 - 2cdot1 = -9

Passo 4

Verificamos na terceira equação:
-1 + t1 = -1 + 1 = 0, 45 + 5t2 = 45 + 5(-9) = 0,
logo a terceira equação é satisfeita, confirmando que as retas se intersectam.

Passo 5

Substituindo t1=1 em r obtemos as coordenadas do ponto de interseção:
x = 4 - 2cdot1 = 2, y = 1 - 2cdot1 = -1, z = -1 + 1 = 0

Resposta

O ponto de interseção é (2,-1,0).\n

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